Matemática

A Lei dos Cossenos Através da Regra de Cramer

Fonte: Blog Fatos Matemáticos.

(http://fatosmatematicos.blogspot.com)

As vezes a relação entre assuntos de áreas distintas da Matemática nos surpreende muito.

Por exemplo, todos conhecem a Lei dos Cossenos que diz que "o quadrado de um lado qualquer de um triângulo é igual a soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles" e uma demonstração clássica é a aplicação do Teorema de Pitágoras.

É interessante observar que regra de Cramer para resolver sistemas lineares através de determinantes (veja na imagem a a seguir um exemplo) pode ser usada para fornecer uma demonstração da Lei dos Cossenos. Para isso, considere a figura abaixo.

Aplicando a definição do cosseno nos triângulos $[;\Delta ADC;]$ e $[;\Delta BCD;]$ , segue que $[; m = b \cos A;]$ e $[;n = a\cos B;]$ , de modo que:

$[;c = m + n = a\cos B + b\cos A \quad \quad (1);]$

Analogamente,

$[;a = b\cos C + c\cos B \quad \quad (2);]$ e $[;b = a\cos C + c\cos A \quad \quad (3);]$

Das equações [;(1);]

, temos o sistema linear:

$[;\begin{cases} b\cos C + c\cos B = a\\ a\cos C + c\cos A = b\\ a\cos B + b\cos A = c \end{cases};]$

nas variáveis $[;\cos A;]$ , $[;\cos B;]$ e $[;\cos C;]$ . Usando a regra de Cramer neste sistema linear, segue após alguns cálculos que [;D = 2abc;]

e que

Sendo:

$[;cos C = \frac{D_c}{D} = \frac{c(a^2 + b^2 - c^2)}{2abc};]$

ou seja,

$[;c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C;]$

as outras relações seguem de modo análogo.

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