Matemática

Desigualdade de Bernoulli

Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que:

$(1+x)^n \ge 1+nx\,$

sempre que

x > ? 1

n

um número inteiro não negativo.

Esta desigualdade pode ser generalizada substituindo

n

por

r

um real maior ou igual a 1.

Demostração

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue:

Base:

$(1+x)^0 = 1 \geq 1$ .

Indução:

Pela hipótese de indução, temos:

$(1+x)^n\geq 1 +nx$

Multiplicado ambos os lados por

(1 + x)

(que é um termo positivo uma vez que

x > ? 1

$(1+x)^{n+1} \ge (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2$

O termo

n x 2

é positivo e portanto:

$(1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x$

Demonstração da Versão mais Geral

Defina a função auxiliar

f (x)

por:

$f(x):=(1+x)^r-(1+rx)\,$

Queremos mostrar que $f(x)\geq 0$ quando

x > ? 1

.

Tomando derivada em

x

, temos:

$f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r\,$

ou seja:

$f'(x)=\left\{\begin{array}{rl} <0,& -1<x<0\\ =0,& x=0\\ >0,& x>0 \end{array}\right.$

Portanto,

f (x)

admite um mínimo global no ponto

x = 0

, onde é nula. Assim concluímos:

$f(x)\geq 0, x>-1\,$

o que completa a demonstração.

REFERÊNCIAS
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_de_Bernoulli

- O Algoritmo Da Divisão Parte Iii
Nesta série de postagens estamos demonstrando o algoritmo da divisão: Se aé um número inteiro qualquer e bé um número inteiro maior do que zero, então existem dois números inteiros qe rtais que a= bq+ r, onde 0 ? r < b. Além disso, qe rsão...

- O Algoritmo Da Divisão Parte Ii
Nesta série de postagens estamos nos dedicando a demonstrar o algoritmo da divisão: Se a é um número inteiro qualquer e b é um número inteiro maior do que zero, então existem dois números inteiros q e r tais...

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