Matemática

EDO: variáveis separáveis - exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 1

Resolver a seguinte equação diferencial:

equação diferencial ordinária resolvida passo a passo

Solução:

Comece separando as variáveis:

$y'=\frac{1+y}{1+x}\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1+y}{1+x}$

$dy=\frac{(1+y)dx}{1+x}$

$\frac{dy}{1+y}=\frac{dx}{1+x}$

Integre ambos os lados da igualdade:

$\int \frac{dy}{1+y}=\int \frac{dx}{1+x}$

Use a técnica da substituição nas duas integrais:

Na integral do lado esquerdo faça

Analogamente, na outra integral faça

Fazendo estas substituições:

$\int \frac{du}{u}=\int \frac{dv}{v}$

Utilize, evidentemente, a mesma regra em ambos os lados:

É claro que a diferença entre constantes é outra constante, então podemos escrever:

A expressão acima é equivalente a:

Esta útlima expressão, por sua vez é o mesmo que:

$e^{log_e(v)+C_3}=u$

Pelas propriedades das potências:

$e^{log_e(v)}e^{C_3}=u$

Pelas propriedades dos logaritmos:

$ve^{C_3}=u$

Um constante (e) elevada a outra constante (C?) também é uma constante, logo podemos escrever:

Voltando com as variáveis originais:

Escrevendo o y em função do x:

Chamando a constante apenas de C podemos escrever:

y=(1+x)C-1

Vamos verificar se esta função satisfaz a equação inicial (este procedimento nos pode ajudar a perceber se cometemos algum erro).

Começamos derivando a função que encontramos como solução:

Derivando a solução obtemos:

$y'=0+C-0$

$y'=C$

Agora substituímos os valores de y e y' acima encontrados na equação diferencial:

$y'=\frac{1+y}{1+x}$

$C=\frac{1+(C+Cx-1)}{1+x}$

$C=\frac{1+C+Cx-1}{1+x}$

$C=\frac{C+Cx}{1+x}$

$C=\frac{C(1+x)}{1+x}$

Observe que a obtemos uma igualdade válida, ou seja, a equação diferencial foi satisfeita (provavelmente acertamos a resolução).

Referência:

FIGUEIREDO, Djairo G. NEVES, Aloisio F. Equações Diferenciais Aplicadas. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2010. (Coleção matemática universitária)

*Erros podem ser apontados aqui.

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