Matemática
CLASSIFICAÇÃO
Exemplos:
dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C
Ex: y =
Então y' =
e y'' = 
Substituindo na equação dada:
ou (
) = 0
0 para todo x, logo devemos ter = 0, que é uma equação do segundo grau na variável , chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA.
A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes1 e 2.
Equação característica:- 2 - 15 = 0 cujas raízes são: 1 = 5, 2= -3
Solução geral: y =
CLASSIFICAÇÕES:
Equação linear homogênea (k(x) = 0), ou equação linear não-homogênea (k(x)0).
Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes)
de coeficientes variáveis (pelo menos um fi variável)
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
é uma equação diferencial exata se e somente se
Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0
P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3 e Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y
e 
logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.
TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante
.
Ex:
Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²
Pelo teorema:
Multiplicando todos os termos pelo fator integrante:
- 3x²y = x² ou = x²dx = 
+ C
A multiplicação por
dá a solução:
- Edo Linear De Primeira Ordem: Exercícios Resolvidos (passo A Passo) / Parte 1
Uma EDO linear de primeira ordem tem o seguinte formato: $$y'+P(x)y=Q(x)$$ Chamaremos a forma acima de "forma padrão" da equação (o $$Q(x)$$ é uma expressão na qual o símbolo $$y$$ não aparece). Quando vamos resolver uma EDO desta natureza,...
- Equação Do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau - Parte I Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa...
- Equação Completa Do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau - Parte I Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa...
- Sistemas
Equações Lineares As equações do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 + .....+ anxn = b, são equações lineares, onde a1, a2, a3, ... são os coeficientes; x1, x2, x3,... as incógnitas e b o termo independente. A equação 4x – 3y + 5z = 31 é uma equação...
- Equação De 2º Grau
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Matemática
Equações Diferencias
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email [email protected]
www.ensinodematemtica.blogspot.com.br
www.accbarrosogestar.blogspot.com.br
WWW.profantoniocarneiro.com
Equações Diferenciais
Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.| DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação). |
CLASSIFICAÇÃO
- EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
- EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.
Exemplos:
y' = 2x | tem ordem 1 e grau 1 |
| y"+x2(y')3 - 40y = 0 | tem ordem 2 e grau 3 |
y"'+x2y3 = x.tanx | tem ordem 3 e grau 3 |
RESOLUÇÃO
A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).
Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x2 - 4x + 1
= 3x2 - 4x + 1dy = (3x2 - 4x + 1) dx
dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + Cy = x3 - 2x2 + x + C (solução geral)
Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3
(condição inicial)
3 = -1 - 2 - 1 + C 
C = 7 y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)
C = 7 y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.
As soluções se classificam em:
Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC,
Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).
EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM
FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0 (a0, a1 constantes)Ex: y =
Então y' =
e y'' = Substituindo na equação dada:
ou () = 0 0 para todo x, logo devemos ter = 0, que é uma equação do segundo grau na variável , chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA. A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes
1 e 2. - 1, 2 números reais e distintos C1
e C2
são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1 + C2 - 1 = 2 = (números reais e iguais) a solução geral da EDO é y = C1 + C2x
- 1 = a + bi, 2 = a - bi (complexos conjugados: a, b reais) a solução geral é y = C1 + C2
Equação característica:
- 2 - 15 = 0 cujas raízes são: 1 = 5, 2= -3Solução geral: y =
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x)
onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x.CLASSIFICAÇÕES:
Equação linear homogênea (k(x) = 0), ou equação linear não-homogênea (k(x)
0).Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes)
de coeficientes variáveis (pelo menos um fi variável)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
é uma equação diferencial exata se e somente se
Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0
P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3 e Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y
e logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.
TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante
.Ex:
Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²
Pelo teorema:
Multiplicando todos os termos pelo fator integrante:
- 3x²y = x² ou = x²dx = + CA multiplicação por
dá a solução:- Edo Linear De Primeira Ordem: Exercícios Resolvidos (passo A Passo) / Parte 1
Uma EDO linear de primeira ordem tem o seguinte formato: $$y'+P(x)y=Q(x)$$ Chamaremos a forma acima de "forma padrão" da equação (o $$Q(x)$$ é uma expressão na qual o símbolo $$y$$ não aparece). Quando vamos resolver uma EDO desta natureza,...
- Equação Do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau - Parte I Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa...
- Equação Completa Do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau - Parte I Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa...
- Sistemas
Equações Lineares As equações do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 + .....+ anxn = b, são equações lineares, onde a1, a2, a3, ... são os coeficientes; x1, x2, x3,... as incógnitas e b o termo independente. A equação 4x – 3y + 5z = 31 é uma equação...
- Equação De 2º Grau
Equação do Segundo Grau - Parte I Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa...