Matemática
Número complexo é um par ordenado de números reais z= (a, b). Na forma algébrica, o par ordenado pode ser escrito como z = (a + bi). Representando um número complexo no plano de Argand-Gauss, obtemos:
Onde:
|z| → é o módulo do número complexo z.
θ → é o argumento de z.
Pelo teorema de Pitágoras, obtemos:
Podemos escrever a e b em função de θ e |z| utilizando a trigonometria no triângulo retângulo.
Substituindo as duas igualdades acima na forma algébrica de z, teremos:
z = |z|∙cosθ + |z|∙senθ∙i
Colocando |z| em evidência, obtemos:
z = |z|(cosθ + i∙sen θ) → que é chamada de forma trigonométrica de z ou forma polar.
A forma trigonométrica é muito utilizada na potenciação e radiciação de números complexos, que são objetos de estudos futuros no conjunto complexo.
Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.
Exemplo 1: Escreva cada um dos seguintes números complexos na forma trigonométrica.
a) z = 1 + i
Solução: Pela forma algébrica, temos que:
a = 1 e b = 1
Segue que:
Assim, obtemos:
Como o ponto (a, b) = (1, 1) está no primeiro quadrante, podemos afirmar que o ângulo θ que apresenta os valores de seno e cosseno indicados acima é θ = 45o. Dessa maneira, a forma trigonométrica do número complexo será:
z = √2 (cos45o + i∙sen 45o )
b) z = -1 + i√3
Solução: A partir da forma algébrica, obtemos:
a = -1 e b = √3
O módulo de z será dado por:
Segue que:
Como o ponto (a, b) = (-1,√3) pertence ao segundo quadrante, podemos afirmar que o ângulo θ que apresenta os valores de seno e cosseno indicados é θ = 120o. Logo, a forma trigonométrica ou polar do número complexo será:
z = 2(cos120o + i∙sen 120o)
Exemplo 2. Obtenha a forma algébrica do número complexo
z = 6(cos270o + i∙sen 270o )
Solução: Da trigonometria no ciclo, temos que:
cos 270o = 0 e sen 270o = – 1
Assim, obtemos:
z = 6(cos270o + i∙sen 270o) = 6[0+i∙(-1)] = -6i
Portanto, a forma algébrica de z é z = – 6i
- Números Complexos
Adição: Sejam z1 = a + bi e z2 = c + di, a soma z1 + z2 é dada por: z1 + z2 = ( a + c ) + ( b + d ) iPropriedades da adição de complexosi) associativa: z1, z2, z3 , tem-se:...
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Operações com números complexos na forma algébricaMarcelo Rigonatto Representação gráfica de zNúmero complexo é um par ordenado de números reais (a, b). Assim, o conjunto dos números complexos é uma extensão do conjunto...
- Potenciação De Números Complexos Na Forma Trigonométrica
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br www.accbarrosogestar.wordpress.com ...
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Por volta do século XV, os matemáticos tinham um único pensamento: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Um número negativo não é quadrado de nenhum número, pois não existe raiz quadrada de um número...
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Matemática
Forma trigonométrica de um número complexo
Forma trigonométrica de um número complexo
Marcelo Rigonatto Números complexos e trigonometria
|z| → é o módulo do número complexo z.
θ → é o argumento de z.
Pelo teorema de Pitágoras, obtemos:
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Substituindo as duas igualdades acima na forma algébrica de z, teremos:
z = |z|∙cosθ + |z|∙senθ∙i
Colocando |z| em evidência, obtemos:
z = |z|(cosθ + i∙sen θ) → que é chamada de forma trigonométrica de z ou forma polar.
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Segue que:
Assim, obtemos:
Como o ponto (a, b) = (1, 1) está no primeiro quadrante, podemos afirmar que o ângulo θ que apresenta os valores de seno e cosseno indicados acima é θ = 45o. Dessa maneira, a forma trigonométrica do número complexo será:
z = √2 (cos45o + i∙sen 45o )
b) z = -1 + i√3
Solução: A partir da forma algébrica, obtemos:
a = -1 e b = √3
O módulo de z será dado por:
Segue que:
Como o ponto (a, b) = (-1,√3) pertence ao segundo quadrante, podemos afirmar que o ângulo θ que apresenta os valores de seno e cosseno indicados é θ = 120o. Logo, a forma trigonométrica ou polar do número complexo será:
z = 2(cos120o + i∙sen 120o)
Exemplo 2. Obtenha a forma algébrica do número complexo
z = 6(cos270o + i∙sen 270o )
Solução: Da trigonometria no ciclo, temos que:
cos 270o = 0 e sen 270o = – 1
Assim, obtemos:
z = 6(cos270o + i∙sen 270o) = 6[0+i∙(-1)] = -6i
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