Matemática

Fração Geratriz de Dízima Periódica Através de PG

Por Profº Kleber Kilhian
Blog O Baricentro da Mente

Primeiramente, vamos relembrar que a fórmula para determinar a soma dos termos de uma PG infinita é dada por:

Vamos tomar alguns exemplos que foram utilizados no post sobre Fração Geratriz através de múltiplos, para efeito de comparação.

Exemplo 1: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 0,121212...

Podemos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

E a razão desta PG é dada por:

Aplicaremos estes valores na fórmula da soma dos termos dada em (1):

Exemplo 2: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,484848...

Vamos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

Separamos a parte inteira e trabalharemos somente com a parte fracionária. Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

E a razão desta PG é:

Aplicaremos estes valores na fórmula da soma dos termos dada em (1):

Agora, somamos o resultado encontrado em (5) com a parte inteira:

Exemplo 3: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,06818181...

Vamos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

Notamos que neste exemplo, além da parte inteira, contém uma parte decimal não periódica.

Separamos a parte inteira e trabalharemos somente com a parte fracionária. Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

E a razão desta PG é:

Agora, aplicamos estes valores na fórmula da soma dos termos da PG infinita:

Somamos o resultado encontrado em (7) com a parte inteira da dízima e com a parte não periódica:

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A fração geratriz, quando representada na forma decimal, produz dízimas periódicas simples ou compostas. Portanto, toda dízima periódica (número decimal) deve possuir uma forma fracionária, por isso demonstraremos como transformar números decimais...

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