Método de Castilho
Matemática

Método de Castilho


Durante uma aula de Estatística no curso de graduação em Matemática, cujo assunto era Regressão Polinomial, a solução para o problema dependia da resolução de um sistema de equações com três incógnitas. Naturalmente, começamos a resolvê-lo escalonando-o. Foi então que nosso professor mostrou-nos um método alternativo para a resolução de sistemas lineares: O Método de Castilho. Veremos a seguir como se procede.

Dado o sistema linear do tipo:

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Poderíamos utilizar para resolução deste sistema, o método da substituição, isolando uma das incógnitas de uma equação e substituindo-a na outra. Outro método é escalonar o sistema. Qualquer um dos dois métodos é simples para resolução de sistemas lineares de duas equações com duas incógnitas.

Para um sistema linear de três equações com três incógnitas, nem sempre é rápido encontrar a solução para este sistema, principalmente se os escalares são números decimais com várias casas.

O método alternativo para a resolução de sistemas lineares é o Método de Castilho, que é muito eficiente e pouco explorado pelos professores. Vejamos:

Dado o sistema:

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Para a resolução pelo método de Castilho, primeiramente precisamos organizar os dados através de uma simples tabela, separada em colunas, onde os coeficientes da incógnita x fiquem na primeira coluna, da incógnita y fique na segunda, da incógnita z fique na terceira e do termo independente fique na quarta, como abaixo:


Figura 1 

Calculamos o determinante da matriz:

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denotado por D1, fazendo a1b2 – a2b1 e colocamos o resultado abaixo da coluna da incógnita y. Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image004[4]

denotado por D2, fazendo a1c2 – a2c1 e colocamos o resultado abaixo da coluna da incógnita z. Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image006

denotado por D3, fazendo a1d2 – a2d1 e colocamos o resultado abaixo da coluna do termo independente.

Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image008

denotado por D4, fazendo a1b3 – a3b1 e colocamos o resultado abaixo da coluna da incógnita y. Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image010

denotado por D5, fazendo a1c3 – a3c1 e colocamos o resultado abaixo da coluna da incógnita z. Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image012

denotado por D6, fazendo a1d3 – a3d1 e colocamos o resultado abaixo da coluna do termo independente, como abaixo:

Figura 2

Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

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denotado por D7, fazendo D1D5D4D2 e colocamos o resultado abaixo da coluna da incógnita z. Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image004[6]

denotado por D8, fazendo D1D6D4D3 e colocamos o resultado abaixo da coluna do termo independente, como abaixo:

Figura 3

Agora, já podemos encontrar os valores das incógnitas, pois o sistema está no formato triangular superior. Como o valor de D7 está abaixo da coluna z e D8 está abaixo da coluna do termo independente, fazemos:

clip_image002[10]

Encontrando:

clip_image004[10]

Da mesma forma, temos que D1y + D2z = D3 e D4y + D5z = D6. Substituindo o valor de z em uma das duas equações anteriores, por exemplo, na primeira, encontramos o valor para a incógnita y:

clip_image006[6]

Encontrando:

clip_image008[6]

Agora já possuímos os valores das incógnitas y e z e podemos substituir seus valores em uma das três equações formadas por a1x + b1y + c1z = d1 ou a2x + b2y + c2z = d2 ou a3x + b3y + c3z = d3.

Inicialmente parece complicado e haver cálculos demais, mas quando estamos resolvendo um problema numérico, vemos que o método se torna simples e eficaz.

Para melhor exemplificar o método, vamos resolver o sistema linear abaixo pelo Método de Castilho:

Dado o sistema:

clip_image010[6]

Primeiramente, montamos a tabela com a distribuição dos coeficientes:

 
Figura 4

Calculamos, agora, os determinantes das matrizes:

clip_image002[12]

onde D1 = – 7

clip_image004[12]

onde D2 = 3

clip_image006[8]

onde D3 = – 3

clip_image008[8]

onde D4 = – 1

clip_image010[8]

onde D5 = – 5

clip_image012[4]

onde D6 = 5

Agora, ordenamos os valores encontrados, na tabela abaixo:

Figura 5

Calculamos, agora, os determinantes das matrizes:

clip_image002[14]

onde D7 = 38

clip_image004[14]

onde D8 = –38

Agora, ordenamos os valores encontrados na tabela abaixo:

Figura 6

Neste momento, já temos condições de encontrar o valor da incógnita z. Fazemos:

clip_image002[16]

clip_image004[16]

Encontrando o valor de z, podemos substituir seu valor em uma das duas equações:

– 7y + 3z = – 3 ou – y – 5z = 5. Tomando a primeira equação com base de cálculo, temos:

clip_image006[10]

clip_image008[10]

clip_image010[10]

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Encontrando os valores de z e y, podemos substituir seus valores em qualquer uma das três equações iniciais: 2x + y + z = 1 ou x – 3y + 2z = – 1 ou 3x + y – z = 4. Tomando a primeira equação como base de cálculo, temos:

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Portanto, encontramos o conjunto solução S = {1, 0, – 1 } para as incógnitas x, y e z, de modo que satisfazem o sistema linear.

Como vimos, podemos encontrar rapidamente a solução de um sistema de três equações com três incógnitas utilizando o Método de Castilho. Esse método explora o cálculo de determinantes e dá ao professor mais uma ferramenta para trabalhar sistemas lineares em sala de aula. Assim, damos aos alunos mais uma opção para que eles possam escolher a melhor forma de resolver sistemas lineares. 


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