O Paradoxo do Hotel de Hilbert
O paradoxo de Hilbert ilustra por que os conjuntos dos infinitos pareceram absurdos por muito tempo:
Considere um Hotel infinito, cujos quartos são numerados pelos números naturais N = 0, 1, 2, 3, ... e está lotado para a noite, ou seja, há um hóspede em cada quarto e, neste caso, seria incapaz de acomodar novos hóspedes, como seria o caso de um número finito de quartos. Então, chega um novo cliente e o recepcionista responde: “sem problemas, pode ir ao quarto 0. Pedirei ao hóspede do quarto 0 que vá para o quarto 1; o do quarto 1 para o quarto 2, e assim por diante”. É claro que a recepção dispõe de um aparelho que comunica todos os hóspedes simultaneamente e solicita que o cliente do quarto n passe para o quarto n + 1. Assim, o novo hóspede pode ser recebido e acomodado.
Pouco tempo depois, chega um ônibus (infinito, sem dúvida!), cheio de novos clientes querendo passar a noite no Hotel. O recepcionista responde: “sem problemas” ao motorista do ônibus e usa seu comunicador para pedir que o hóspede de cada quarto n vá para o quarto 2n. Informa ao motorista que o passageiro número i pode ir para o quarto 2i + 1 (que está de fato vago, pois todos os quarto ímpares foram liberados).
Pouco tempo depois, chega um grupo mais numeroso, consistindo em uma infinidade de ônibus, cada qual trazendo a bordo infinitos passageiros. O recepcionista prontamente responde: “sem problemas, eu os acomodo aqui”. Então, usa seu comunicador e solicita ao hóspede do quarto i que vá para o quarto 2i + 1 (o que libera todos os quartos de número par), e dá a seguinte instrução ao grupo de ônibus: o passageiro i do veículo j deve ocupar o quarto:
Tudo fica bem e em hipótese alguma dois viajantes distintos se verão acomodados num mesmo quarto.
Este paradoxo não é contraditório, pois encontramos um resultado verdadeiro, mas é contra-indutivo: A situação “está lotado para a noite, ou seja, há um hóspede em cada quarto” e “seria incapaz de acomodar novos hóspedes” não são equivalentes quando há infinitamente muitos quartos.
As propriedades de “coleções de coisas” infinitas são bem diferentes das “coleções de coisas” finitas. Num hotel com números de quartos finitos (com número de quartos maior que 1), o número de quartos com numeração ímpar é claramente menor que o número total de quartos. Já no “Grand Hotel” de Hilbert, a quantidade de quartos com numeração ímpar é como muitos como a mesma quantidade total de quartos. Matematicamente falando, a cardinalidade do subconjunto contendo os quartos com numeração ímpar é a mesma cardinalidade do conjunto de todos os quartos. De fato, conjuntos infinitos são caracterizados como conjuntos que possuem um subconjunto próprio da mesma cardinalidade. Para conjuntos contáveis, esta cardinalidade é denominada 
(álefe zero).
[1] Scientific American – Edição Especial Nº15 – As diferentes faces do infinito
[2] Diverso da Internet
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