Matemática

Os Naturais e o Princípio da Boa Ordenação

Autor: Blog Fatos Matemáticos - Profº Paulo Sergio

Enquanto a geometria, [;300;]

anos antes de Cristo, nos Elementos de Euclides, já recebia um tratamento lógico-dedutivo, com seus postulados e axiomas, definições e teoremas, para a teoria dos números e mesmo para outras partes da Matemática, demorou muito a receber um tratamento semelhante.

A primeira tentativa nesse sentido se deve a Giovanni Campano que viveu por volta de [;1260;]

. Este capelão do Papa Urbano [;IV;]

procurou fundamentar os números naturais em [;4;]

postulados, o último dos quais afirmava que "um número não pode diminuir indefinidamente", o que significa, no fundo, a existência do mínimo de qualquer coleção de número naturais. Gottfried W. Leibniz [;(1646-1716);]

assinalou que "verdades" tão evidentes como [;2 + 2 = 4;]

devem ser objeto de demonstração a partir do conceito de número, o mesmo devendo acontecer também com propriedades aparentemente tão óbvias como a comutativa da adição e a comutativa da multiplicação. Mas Leibniz não se aprofundou no assunto.

Mas ao se chegar ao século [;XIX;]

já não era possível à Matemática, no estágio que atingira e no ritmo em que se desenvolvia, continuar se apoiando quase que inteiramente na intuição. Desse modo, seus alicerces passaram a ser investigados amplamente e a receber a fundamentação lógica necessária.

No que se refere aos números, parece que a primeira tentativa séria nesse sentido foi feita por Hermann G. Grassmann [;(1809-1877);]

que, em

, definiu adição e multiplicação de inteiros e demontrou as propriedades fundamentais dessas operações, usando apenas a função sucessor $[;x \to x+1;]$ e implicitamente o princípio de indução. O primeiro sistema completo de axiomas para a aritmética foi apresentado por Richard Dedekind [;(1831-1916);]

e em

o matemático italiano Giuseppe Peano [;(1858-1932);]

apresenta a sua axiomatização dos números naturais.

Para finalizar vejamos um axioma importante usado para demonstrar o Princípio da Indução Finita, muito usado para provar várias propriedades referentes aos números inteiros.

Axioma (Princípio da Boa Ordenação): Todo subconjunto não vazio [;A;]

de inteiros não negativos possui um elemento mínimo, isto é, existe $[;n_0 \in A;]$ tal que $[;n_0 \leq n;]$ , para todo $[;n \in A;]$ .

Teorema (Princípio da Indução Finita): Seja $[;N = \{n_0,n_1,n_2,\ldots\} \subset \mathcal{N};]$ um conjunto de inteiros não negativos. Suponhamos que $[;n_0 \prec n_1 \prec n_2 \prec \ldots;]$ e seja [;S(n);]

uma proposição que depende de $[;n \in N;]$ , tal que:

é verdadeira;

b) Se $[;m \in N;]$ e [;S(n);]

é verdadeira para todo $[;n \in N;]$ tal que $[;n \prec m;]$ , então [;S(m);]

é verdadeira.

Então [;S(n);]

é verdadeira para qualquer $[;n \in N;]$ .

Demonstração: A prova será feita por contradição.

Seja

$[;F = \{l \in N : S(l);]$ não é verdadeira $[;\};]$

e suponha por absurdo que $[;F \neq \empty;]$ . Pelo Princípio da boa ordenação existe $[;l_0 \in F;]$ , $[;l_0 \succ n_0;]$ , (já que [;S(n_0);]

é verdadeira), tal que $[;l_0 \leq l;]$ para todo $[;l \in F;]$ , isto é [;l_0;]

é um elemento mínimo de [;F;]

. Deste modo, [;S(n);]

é verdadeira para todo $[;n \in N;]$ , tal que $[;n \prec l_0;]$ (a não validade desta afirmação comprometeria a minimalidade de l_0). Pela hipótese [;(b);]

temos que

é verdadeira, uma contradição. Assim, devemos ter $[;F = \empty;]$ e [;S(n);]

verdadeira para todo $[;n \in N;]$ .

Referências Bibliográficas:

-H. Domingues, Hygino. Fundamentos de Aritmética. Atual Ed. Ltda, São Paulo, [;1991;]

-Shokranian, Salahoddin et. alli. Teoria dos Números. Ed. Universidade de Brasília, $[;2^{\underline{a}};]$ ed., Brasília, [;1999;]

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