Matemática

Polinômios - Divisão e o algoritmo de Briot-Ruffini

Olá pessoal, hoje vou falar sobre divisão de polinômios.

Assim como na divisão Euclidiana, ao dividir "a" por "p" temos a = p.q + r onde r é menor que p.

ao dividirmos um polinômio p(x) por outro g(x) temos: $\frac{p(x)}{g(x)}= h(x) + \frac{r(x)}{g(x)}$ onde This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

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tem grau menor que o de This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

. Escrevendo de outra forma, temos: $p(x)= h(x).g(x) + r(x)$ .

Observe que dados p(x) e h(x) só há 1 par de polinômios h(x) e r(x) que satisfazem $p(x)= h(x).g(x) + r(x)$ com o grau de r(x) menor que o de g(x)- tente demonstrar isso - (a dica é demonstrar por absurdo). Onde p(x) é o dividendo, g(x) é o divisor, h(x) é o coeficiente e r(x) é o resto.

Assim, é conveniente desenvolver um método para achar esses dois polinômios.

O método que todos aprendem na escola é a divisão polinomial. Mostrarei como funciona através de um exemplo.

Suponha que queiramos dividir $p(x) = x^4 + 4 x^3 + 0 x^2 - 3 x - 2$ por This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Primeiramente coloque-os dispostos da seguinte forma:

Depois, vamos achar o primeiro termo do quociente (h(x)). Ele deve ser tal que ele multiplicado pelo termo de maior grau do divisor resulte no termo de maior grau do dividendo. Nesse caso, é This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

. Então, multiplicamos todo o divisor por esse termo encontrado e subtraímos do dividendo.

Segue as 3 operações feitas na sequência.

Agora, o próximo termo do quociente é tal que ao ser multiplicado pelo termo de maior grau do divisor dê This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Nesse caso, o termo é This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

. Depois, multiplicamos o termo encontrado ( This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

) pelo divisor e subtraímos novamente.

Segue os passos descritos.

Agindo da mesma forma que fizemos pra achar os 2 primeiros termos vemos que o próximo é This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

. Segue os passos finais.

Assim, $x^4 + 4x^3 -3x - 4 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 3x - 4) - 2x$

Observe que, somando 2x dos dois lados temos: $x^4 + 4x^3 -x - 4 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 3x - 4)$

Então, as raízes de $x^4 + 4x^3 -x - 4$ são as raízes de $(x^2 + x + 1)$ e $(x^2 + 3x - 4)$ .

Há uma forma prática de dividir um polinômio por outro da forma g(x)=(x-b). Esse é o método de Briot-Ruffini, muito usado para testar se "b" é raiz de uma equação.

Primeiramente, vamos dividir um polinômio $p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_2 x^2 + a_1x + a_0$ por um da forma This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

e ver o que ocorre em cada passo.

Abaixo encontrando os 2 primeiros termos teremos

Logo, após encontrar o i-ésimo termo teremos:

Deixo a demostração disso com o leitor senão o post fica muito extenso. A dica é usar indução (clique aqui para ler sobre o princípio da indução finita) verifique que pra i=1 é verdade e mostre que se vale para i=k então vale para i=k+1 (é só continuar efetuando a divisão).

Então, o resto será $b^n a_n + b^{n-1}a_{n-1} + b^{n-2}a_{n-2} + ... + b a_1 + a_0$ .

Observe que se $b^n a_n + b^{n-1}a_{n-1} + b^{n-2}a_{n-2} + ... + b a_1 + a_0$ = 0

então b é raiz de $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ...+ a_1x + a_0$

O quociente será: $a_n x^{n-1}+(a_{n-1}+ba_n)x^{n-2} +...+ (a_2 + ba_3 + ... + b^{n-2}a_n) x + a_1 + ba_2 + ... +$ $+ b^{n-2}a_{n-1} + b^{n-1}a_n$

Observe que o resto dessa divisão é um número e o quociente é um polinômio de grau n-1. Logo, para fazer essa divisão precisamos só obter os coeficientes do quociente e o resto (o que pode ser feito decorando essa fórmula geral que eu mostrei logo acima). Para isso que serve o algoritmo de Briot-Ruffini. É um jeito fácil de obter esses números sem decorar nada.

Funciona assim:

Se quiser dividir $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ...+ a_1x + a_0$ por (x-b), comece da seguinte disposição.

Observe que se quisermos dividir por (x-b) colocamos b. E do lado os coeficientes do dividendo. Caso algum coeficiente seja nulo, coloque 0.

Repita o primeiro coeficiente do dividendo (

) multiplique por b e some com

. Depois, coloque o resultado dessa soma abaixo de

. Multiplique esse resultado por b, some com

e repita logo abaixo de

. Seguem os passos descritos.

Observe que esses já são os 3 primeiros termos da divisão. Após encontrar o i-ésimo termo teremos:

A demostração disso é por indução e é idêntica à anterior.

Observe que o último termo a ser escrito (abaixo de

) será o resto da divisão. Se este termo for 0, então b é raiz do polinômio original.

Assim, com esse método obteremos os coeficientes do quociente e o resto da divisão de forma mais rápida.

Ex: Suponha que queiramos dividir $x^3 -2x + 1$ por

. Nesse caso temos:

Assim, $x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1)$ .

Suponha que quiséssemos dividir $x^4 -6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$ por

. Observe que

e -1 e 1 são raízes de $x^4 -6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$ . Assim, podemos dividir $x^4 -6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$ por (x+1) e depois dividir por (x-1)

Temos:

Logo, $x^4 -6x^3 + 7x^2 + 6x - 8 = (x-1)(x+1)(x^2 - 6x + 8)$ .

Observe que só pudemos fazer isso por que são ambas raízes de $x^4 -6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$ .

Bem, por hoje é só. Para fixar o conteúdo vale a pena fazer algumas divisões com polinômios aleatórios.

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Até mais.

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Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br www.accbarrosogestar.wordpress.com ...

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