Matemática
As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de memória de dispositivos como HD, memórias ou Pendrives está muito comum no cotidiano do mundo da informática. Contudo, o significado do termo byte e de seus múltiplos pode causar muitas confusões.
Na Ciência da Computação, o byte é a unidade de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por $8$ bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é determinado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor. Capacitor é um dispositivo eletrônico capaz de armazenar energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de forma binária, podendo assumir somente dois valores: $0$ (quando está desligado ou descarregado) e $1$ (quando está ligado ou carregado). Por esta razão, as informações em um computador estão codificadas em uma base de numeração binária, e não decimal.
Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas dezenas de quilobytes $(KB)$. Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas interpretações distintas. Segundo o $S.I.$ (Sistema Internacional de Medidas), o prefixo quilo $(k)$ corresponde a $1.000$ unidades. Assim, um quilobyte $(1 KB)$, segundo o $S.I.$ corresponderia a $1.000$ ou $10^3$ bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento de informação no computador, um quilobyte corresponderia a $2^{10}$ bytes. A diferença relativa entre as duas interpretações para o valor de um quilobyte era pequena $(2,4\%)$ e não ocasionaria maiores problemas na época.
Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unidades de medidas tiveram que ser adotadas, tais como megabytes, o gigabyte e o terabyte. A diferença relativa entre o sistema binário e o Sistema Internacional aumentou, gerando uma discrepância significativa no valor dessas unidades. Um gigabyte, no $S.I.$ corresponde a $1.000.000.000$ ou $10^9$ bytes. No sistema binário, um gigabyte corresponde a $2^{30}$ bytes, ou $1.073.741.824$ bytes, um número $7,4\%$ maior que o seu correspondente no $S.I.$. No caso do terabyte, essa diferença chega a aproximadamente $10\%$.
Nos dias de hoje, há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes de memória adotam a base decimal na configuração de suas memórias devido à facilidade de compreensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória declarada pelo fabricante e as medidas registradas nos sistemas operacionais.
O Bureau Internacional de Pesos e Medidas $(BIPM)$, um dos órgãos responsáveis pela regulação do $S.I.$, declara que os prefixos do Sistema Internacional de Medidas referem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em $2005$, a Comissão Eletrotécnica Internacional $(IEC)$ criou um sistema de unidades específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo como base o sistema binário. Foram definidos novos prefixos para designar os múltiplos das unidades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, $2^{20}$ bytes passam a ser designados como mebibyte, e não mais como megabyte, que representam $10^6$ bytes no $S.I.$. O prefixo mega foi substituído por mebi, em que bi é a abreviação de binário.
Na tabela a seguir é possível comparar as unidades do sistema decimal $(S.I.)$ com os do sistema binário.
Uma informação pode ser codificada a partir de uma combinação de bits. A tabela logo abaixo mostra a codificação dos algarismos de $0$ a $7$ por meio da combinação de três bits. Na primeira coluna da tabela estão representados os estados dos capacitores da seguinte forma: $0$ para desligado e $1$ para ligado. A segunda coluna representa o número binário em relação às configurações dos capacitores, que obedecerá o mesmo padrão. Por se tratar de três bits, o número binário. Na terceira coluna encontra-se o número correspondente no sistema decimal associado à configuração dos capacitores e ao número binário.
Utilizando $3$ bits, foi possível armazenar $8$ informações diferentes. No exemplo da tabela, foram representados os oito números de $0$ a $7$. O número $5$, por exemplo, foi representado pelo número $101$, enquanto o número $7$ foi representado pelo número $111$. Utilizando apenas os algarismos $0$ e $1$, e as três casas, não é possível representar nenhuma outra informação. Para representar mais números, seriam necessários mais bits.
Se cada bit só pode assumir dois valores, o número total de informações que podem ser armazenados com $3$ bits é dado por:
\begin{equation*}
2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3
\end{equation*}
Portanto, com $4$ bits pode-se armazenar $2^4$ ou $16$ informações. Com $5$ bits, $2^5$ ou $32$ informações e assim por diante. Com $n$ bits é possível armazenar $2^n$ informações.
A mesma situação pode ser descrita aplicando-se um método denominado diagrama de árvore.
Esse tipo de diagrama é um modelo representativo de raciocínio multiplicativo aplicado em várias situações que envolvem contagens, como por exemplo, de quantos modos diferentes podemos vestir uma camiseta e uma calça dispondo, para isso, de $3$ camisetas e $2$ calças diferentes.
No $S.I.$, os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potências de $10$. Assim, um quilobyte $(KB)$ equivale a $10^3$ bytes, um megabyte $(MB)$ a $10^6$ bytes e assim por diante. Com base no $S.I.$, podemos fazer algumas transformações para exercitar o uso das potências de $10$:
\begin{equation*}
10 \cdot 10^6 = 10^7 \: bytes
\end{equation*}
\begin{equation*}
1\cdot \frac{10^9}{10^3} = 10^6 \: bytes
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{10^2 \cdot 10^3}{10^9} = 10^{-4} \: gigabytes
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{2\cdot 10\cdot 10^{12}}{10^6} = 2\cdot 10^7 \: megabytes
\end{equation*}
Já para o sistema binário, os prefixos usado expressam potências de $2$. Assim, $1$ quibibyte $(KiB)$ equivale a $2^{10}$ bytes; $1$ mebibyte $(MiB)$ a $2^{20}$ bytes; $1$ gibibyte $(GiB)$ a $2^{30}$ bytes e assim por diante. Vamos fazer algumas transformações para exercitar o uso das potências de $2$:
\begin{equation*}
\frac{2^1 \cdot 2^{20}}{2^{10}} = 2^{11} \: quibibytes
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{2^4 \cdot 2^{30}}{2^{20}} = 2^{14} \: mebibytes
\end{equation*}
\begin{equation*}
5 \cdot 2^1 \cdot 2^{40} = 5 \cdot 2^{41} \: bytes
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{2^5 \cdot 2^{10}}{2^{30}} = 2^{-15} \: gibibytes
\end{equation*}
A capacidade de armazenamento de mídias como um $CD-ROM$ está baseada no sistema binário, apesar de ser expressa com os prefixos no sistema decimal. Por exemplo: um $CD-ROM$ de $700 MB$ (megabytes) tem uma capacidade real de $700 MiB$ (mebibytes). Diferentemente, a capacidade real dos $DVDs$ é calculada com potências de $10$, ou seja, um $DVD$ de $4,7 GB$ (gigabytes) tem efetivamente uma capacidade de armazenamento de $4,7$ gigabytes. Então, qual a capacidade real em megabytes de um $CD-ROM$ de $700 MiB$? Transformamos $700$ mebibytes em megabytes:
\begin{equation*}
\frac{7 \cdot 10^2 \cdot 2^{20}}{10^6} = \frac{7 \cdot 2^{20}}{10^4} = \frac{7 \cdot 1.048.576}{10.000} = 734 \: megabytes
\end{equation*}
Portanto, a capacidade efetiva de um $CD-ROM$ é de $734 MB$.
Para sabermos qual é a capacidade real em gibibytes $(GiB)$ de um $DVD$ de $4,7 GB$, basta transformarmos $4,7$ gigabytes em gibibytes, assim:
\begin{equation*}
\frac{47 \cdot 10^{-1} \cdot 10^9}{2^{30}} = \frac{4.700.000.000}{1.073.741.824} \approx 4,4 \: gibibytes
\end{equation*}
Portanto, a capacidade, em base binária, de uma mídia de $DVD$ é de $4,4 GiB$ (gibibytes).
[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Bits
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/International_Electrotechnical_Commission
[2] A História do Computador e Alguns Matemáticos que Contribuíram para o seu Desenvolvimento
[3] Definição de Notação Científica
[4] Correção de Erros no blog Nerdyard
[5] http://www.hardware.com.br/guias/hds/gigabytes-gibibytes.html
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
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Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites. Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$. Demonstração:Seja...
- Demonstração Da Derivada Da Função Produto
A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira: Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$...
Matemática
Potências em base decimal, base binária e o byte
As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de memória de dispositivos como HD, memórias ou Pendrives está muito comum no cotidiano do mundo da informática. Contudo, o significado do termo byte e de seus múltiplos pode causar muitas confusões.
[Figura 1]
Na Ciência da Computação, o byte é a unidade de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por $8$ bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é determinado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor. Capacitor é um dispositivo eletrônico capaz de armazenar energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de forma binária, podendo assumir somente dois valores: $0$ (quando está desligado ou descarregado) e $1$ (quando está ligado ou carregado). Por esta razão, as informações em um computador estão codificadas em uma base de numeração binária, e não decimal.
Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas dezenas de quilobytes $(KB)$. Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas interpretações distintas. Segundo o $S.I.$ (Sistema Internacional de Medidas), o prefixo quilo $(k)$ corresponde a $1.000$ unidades. Assim, um quilobyte $(1 KB)$, segundo o $S.I.$ corresponderia a $1.000$ ou $10^3$ bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento de informação no computador, um quilobyte corresponderia a $2^{10}$ bytes. A diferença relativa entre as duas interpretações para o valor de um quilobyte era pequena $(2,4\%)$ e não ocasionaria maiores problemas na época.
Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unidades de medidas tiveram que ser adotadas, tais como megabytes, o gigabyte e o terabyte. A diferença relativa entre o sistema binário e o Sistema Internacional aumentou, gerando uma discrepância significativa no valor dessas unidades. Um gigabyte, no $S.I.$ corresponde a $1.000.000.000$ ou $10^9$ bytes. No sistema binário, um gigabyte corresponde a $2^{30}$ bytes, ou $1.073.741.824$ bytes, um número $7,4\%$ maior que o seu correspondente no $S.I.$. No caso do terabyte, essa diferença chega a aproximadamente $10\%$.
Nos dias de hoje, há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes de memória adotam a base decimal na configuração de suas memórias devido à facilidade de compreensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória declarada pelo fabricante e as medidas registradas nos sistemas operacionais.
O Bureau Internacional de Pesos e Medidas $(BIPM)$, um dos órgãos responsáveis pela regulação do $S.I.$, declara que os prefixos do Sistema Internacional de Medidas referem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em $2005$, a Comissão Eletrotécnica Internacional $(IEC)$ criou um sistema de unidades específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo como base o sistema binário. Foram definidos novos prefixos para designar os múltiplos das unidades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, $2^{20}$ bytes passam a ser designados como mebibyte, e não mais como megabyte, que representam $10^6$ bytes no $S.I.$. O prefixo mega foi substituído por mebi, em que bi é a abreviação de binário.
Na tabela a seguir é possível comparar as unidades do sistema decimal $(S.I.)$ com os do sistema binário.
[Tabela 1]
Uma informação pode ser codificada a partir de uma combinação de bits. A tabela logo abaixo mostra a codificação dos algarismos de $0$ a $7$ por meio da combinação de três bits. Na primeira coluna da tabela estão representados os estados dos capacitores da seguinte forma: $0$ para desligado e $1$ para ligado. A segunda coluna representa o número binário em relação às configurações dos capacitores, que obedecerá o mesmo padrão. Por se tratar de três bits, o número binário. Na terceira coluna encontra-se o número correspondente no sistema decimal associado à configuração dos capacitores e ao número binário.
[Tabela 2]
Utilizando $3$ bits, foi possível armazenar $8$ informações diferentes. No exemplo da tabela, foram representados os oito números de $0$ a $7$. O número $5$, por exemplo, foi representado pelo número $101$, enquanto o número $7$ foi representado pelo número $111$. Utilizando apenas os algarismos $0$ e $1$, e as três casas, não é possível representar nenhuma outra informação. Para representar mais números, seriam necessários mais bits.
Se cada bit só pode assumir dois valores, o número total de informações que podem ser armazenados com $3$ bits é dado por:
\begin{equation*}
2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3
\end{equation*}
Portanto, com $4$ bits pode-se armazenar $2^4$ ou $16$ informações. Com $5$ bits, $2^5$ ou $32$ informações e assim por diante. Com $n$ bits é possível armazenar $2^n$ informações.
[Tabela 3]
A mesma situação pode ser descrita aplicando-se um método denominado diagrama de árvore.
[Figura 2]
Esse tipo de diagrama é um modelo representativo de raciocínio multiplicativo aplicado em várias situações que envolvem contagens, como por exemplo, de quantos modos diferentes podemos vestir uma camiseta e uma calça dispondo, para isso, de $3$ camisetas e $2$ calças diferentes.
No $S.I.$, os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potências de $10$. Assim, um quilobyte $(KB)$ equivale a $10^3$ bytes, um megabyte $(MB)$ a $10^6$ bytes e assim por diante. Com base no $S.I.$, podemos fazer algumas transformações para exercitar o uso das potências de $10$:
Exemplo $1$:
Transformar$10$ megabytes em bytes:\begin{equation*}
10 \cdot 10^6 = 10^7 \: bytes
\end{equation*}
Exemplo $2$:
Transformar $1$ gigabytes em quilobytes:\begin{equation*}
1\cdot \frac{10^9}{10^3} = 10^6 \: bytes
\end{equation*}
Exemplo $3$:
Transformar $100$ quilobytes em gigabytes:\begin{equation*}
\frac{10^2 \cdot 10^3}{10^9} = 10^{-4} \: gigabytes
\end{equation*}
Exemplo $4$:
Transformar $20$ terabytes em megabytes:\begin{equation*}
\frac{2\cdot 10\cdot 10^{12}}{10^6} = 2\cdot 10^7 \: megabytes
\end{equation*}
Já para o sistema binário, os prefixos usado expressam potências de $2$. Assim, $1$ quibibyte $(KiB)$ equivale a $2^{10}$ bytes; $1$ mebibyte $(MiB)$ a $2^{20}$ bytes; $1$ gibibyte $(GiB)$ a $2^{30}$ bytes e assim por diante. Vamos fazer algumas transformações para exercitar o uso das potências de $2$:
Exemplo $5$:
Transformar $2$ mebibytes em quibibytes:\begin{equation*}
\frac{2^1 \cdot 2^{20}}{2^{10}} = 2^{11} \: quibibytes
\end{equation*}
Exemplo $6$:
Transformar $16$ gibibytes em mebibytes:\begin{equation*}
\frac{2^4 \cdot 2^{30}}{2^{20}} = 2^{14} \: mebibytes
\end{equation*}
Exemplo $7$:
Transformar $10$ tebibytes em bytes:\begin{equation*}
5 \cdot 2^1 \cdot 2^{40} = 5 \cdot 2^{41} \: bytes
\end{equation*}
Exemplo $8$:
Transformar $32$ quibibytes em gibibytes:\begin{equation*}
\frac{2^5 \cdot 2^{10}}{2^{30}} = 2^{-15} \: gibibytes
\end{equation*}
A capacidade de armazenamento de mídias como um $CD-ROM$ está baseada no sistema binário, apesar de ser expressa com os prefixos no sistema decimal. Por exemplo: um $CD-ROM$ de $700 MB$ (megabytes) tem uma capacidade real de $700 MiB$ (mebibytes). Diferentemente, a capacidade real dos $DVDs$ é calculada com potências de $10$, ou seja, um $DVD$ de $4,7 GB$ (gigabytes) tem efetivamente uma capacidade de armazenamento de $4,7$ gigabytes. Então, qual a capacidade real em megabytes de um $CD-ROM$ de $700 MiB$? Transformamos $700$ mebibytes em megabytes:
\begin{equation*}
\frac{7 \cdot 10^2 \cdot 2^{20}}{10^6} = \frac{7 \cdot 2^{20}}{10^4} = \frac{7 \cdot 1.048.576}{10.000} = 734 \: megabytes
\end{equation*}
Portanto, a capacidade efetiva de um $CD-ROM$ é de $734 MB$.
Para sabermos qual é a capacidade real em gibibytes $(GiB)$ de um $DVD$ de $4,7 GB$, basta transformarmos $4,7$ gigabytes em gibibytes, assim:
\begin{equation*}
\frac{47 \cdot 10^{-1} \cdot 10^9}{2^{30}} = \frac{4.700.000.000}{1.073.741.824} \approx 4,4 \: gibibytes
\end{equation*}
Portanto, a capacidade, em base binária, de uma mídia de $DVD$ é de $4,4 GiB$ (gibibytes).
Referências:
[1] Caderno do Professor – Matemática: Ensino Fundamental 7ª Série 1º Bimestre – Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, 2008[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Bits
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/International_Electrotechnical_Commission
Veja mais:
[1] A Computação e o Sonho de Babbage[2] A História do Computador e Alguns Matemáticos que Contribuíram para o seu Desenvolvimento
[3] Definição de Notação Científica
[4] Correção de Erros no blog Nerdyard
[5] http://www.hardware.com.br/guias/hds/gigabytes-gibibytes.html
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
- Demonstração Da Derivada Da Função Logarítmica
Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites. Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$. Demonstração:Seja...
- Demonstração Da Derivada Da Função Produto
A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira: Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$...