Matemática

Questão 70 ? Prova do Estado ? (OFA) 2.014 ? Professor de Educação Básica II

A respeito do conjunto dos números reais, é verdade que

(A) nem todo número racional pode ser expresso por meio de uma fração.

(B) se um número tem representação decimal infinita, então esse número é racional.

(D) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.

(E) se a regularidade observada na parte decimal do número 1,14114111411114... for mantida, então esse número é irracional.

Solução: (E)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° ? Compreensão do Problema

A questão envolve conceito do conjunto de números reais, mais precisamente nas diferenças dos subconjuntos dos números racionais e dos números irracionais.

2° ? Estabelecimento de um Plano

Analisar cada alternativa.

3° ? Execução do Plano

(A) nem todo número racional pode ser expresso por meio de uma fração ? Incorreto.

A própria definição de número racional diz que todo número racional pode ser expresso na forma de uma fração onde o numerador e o denominador são números inteiros.

(B) se um número tem representação decimal infinita, então esse número é racional ? Incorreto.

Se um número tem representação decimal infinita, então esse número é racional ocorre apenas nos casos das dízimas periódicas.

1/43 = 0,023255813953488372093023255813953488372093... Observe que temos um período 023255813953488372093 e que é um período longo que pode confundir a primeira vista.

Na prática toda fração irredutível que tiver um número primo diferente de 2 e 5 como denominador gera uma dízima periódica.

(D) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional ? Incorreto.

Basta observar que ?3 e ?3 / 2 são números irracionais e que o produto destes números é 3/2, ou seja um número racional.

Então nem sempre o produto de dois números irracionais é um número irracional.

(E) se a regularidade observada na parte decimal do número 1,14114111411114... for mantida, então esse número é irracional ? Correto.

Observe que o fato de ser mantida a regularidade 14, 114, 1114, 11114, 111114 , esta regularidade não caracteriza uma dízima periódica.

Na dizima periódica a partir de certo ponto temos uma repetição constante de um número ou grupo de números do qual temos certeza que esta repetição é infinita. Então este número não pode ser representado por uma fração, logo é um número irracional.

4° ? Avaliação

A questão avalia os conhecimentos dos candidatos em relação aos conjunto de números racionais e irracionais que formam o conjunto dos números reais.

***

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