Matemática
Nesta postagem, vamos provar que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\end{equation*}
onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$.
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx
\end{equation*}
Fatorando $a^2$ no denominador do integrando:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{\displaystyle a^2\left(\frac{x^2}{a^2}+1\right)}\ dx
\end{equation*}
Fatorando as constantes:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a^2} \displaystyle \int \frac{1}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+1}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos as substituição $\displaystyle u = \frac{x}{a}$. Assim, $\displaystyle du = \frac{1}{a}\ dx$ e $dx = a\ du$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{u^2 + 1}\ a\ du\\
\ \\
I = \frac{1}{a}\int \frac{1}{u^2 + 1}\ du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u^2 + 1}$ é $\text{arctg}(u)$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a}\text{arctg}(u) + C
\end{equation*}
Mas $\displaystyle u = \frac{x}{a}$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\end{equation*}
Pela demonstração acima, temos que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a} \text{arctg}\left( \frac{x}{a}\right)
\end{equation*}
Reescrevendo a função $f(x)$ como:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{x^2+2^2}
\end{equation*}
temos que $a=2$. Assim, a integral acima fica:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{x^2+2^2}\ dx = \frac{1}{2} \text{arctg}\left( \frac{x}{2} \right)
\end{equation*}
Para encontrarmos a área sob a curva no intervalo solicitado, fazemos:
\begin{equation*}
A = \int_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}\ dx = \left[ \frac{1}{\displaystyle \text{arctg} \left(\frac{x}{2}\right)} \right]_0^2\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \text{arctg}\left(\frac{2}{2}\right) - \frac{1}{2} \text{arctg}\left(\frac{0}{2}\right)\\
\ \\
A = \frac{1}{2}\text{arctg}(1) - \frac{1}{2}\text{arctg}(0)
\end{equation*}
O arco cuja tangente vale $1$ é o arco de $45°$ ou $\pi/4$ e o arco cuja tangente vale $0$ é o arco de $0^°$. Assim:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{2} \ \cdot \ \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} u.a.
\end{equation*}
Resposta: A área sob a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+a^2}$ compreendida no intervalo $[0,2]$ vale $\pi/8$ unidades de área.
Integração por substituição
Integração por partes
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx$
Nesta postagem, veremos que: \begin{equation*} \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C \end{equation*} onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx \end{equation*} Decompomos...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C \end{equation*} onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \text{sen}^2(ax)dx \end{equation*}...
- Resolução Da Integral $\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$
Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial. Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
Matemática
Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\end{equation*}
onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$.
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx
\end{equation*}
Fatorando $a^2$ no denominador do integrando:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{\displaystyle a^2\left(\frac{x^2}{a^2}+1\right)}\ dx
\end{equation*}
Fatorando as constantes:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a^2} \displaystyle \int \frac{1}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+1}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos as substituição $\displaystyle u = \frac{x}{a}$. Assim, $\displaystyle du = \frac{1}{a}\ dx$ e $dx = a\ du$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{u^2 + 1}\ a\ du\\
\ \\
I = \frac{1}{a}\int \frac{1}{u^2 + 1}\ du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u^2 + 1}$ é $\text{arctg}(u)$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a}\text{arctg}(u) + C
\end{equation*}
Mas $\displaystyle u = \frac{x}{a}$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\end{equation*}
Exemplo:
Calcular a área sob a curva $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+4}$ compreendida no intervalo $[0,2]$.Pela demonstração acima, temos que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a} \text{arctg}\left( \frac{x}{a}\right)
\end{equation*}
Reescrevendo a função $f(x)$ como:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{x^2+2^2}
\end{equation*}
temos que $a=2$. Assim, a integral acima fica:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{x^2+2^2}\ dx = \frac{1}{2} \text{arctg}\left( \frac{x}{2} \right)
\end{equation*}
Para encontrarmos a área sob a curva no intervalo solicitado, fazemos:
\begin{equation*}
A = \int_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}\ dx = \left[ \frac{1}{\displaystyle \text{arctg} \left(\frac{x}{2}\right)} \right]_0^2\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \text{arctg}\left(\frac{2}{2}\right) - \frac{1}{2} \text{arctg}\left(\frac{0}{2}\right)\\
\ \\
A = \frac{1}{2}\text{arctg}(1) - \frac{1}{2}\text{arctg}(0)
\end{equation*}
O arco cuja tangente vale $1$ é o arco de $45°$ ou $\pi/4$ e o arco cuja tangente vale $0$ é o arco de $0^°$. Assim:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{2} \ \cdot \ \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} u.a.
\end{equation*}
Resposta: A área sob a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+a^2}$ compreendida no intervalo $[0,2]$ vale $\pi/8$ unidades de área.
Veja mais:
Lista de resolução de integraisIntegração por substituição
Integração por partes
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx$
Nesta postagem, veremos que: \begin{equation*} \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C \end{equation*} onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx \end{equation*} Decompomos...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C \end{equation*} onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \text{sen}^2(ax)dx \end{equation*}...
- Resolução Da Integral $\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$
Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial. Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...