Matemática
Interpretando o conteúdo da carta e chamando de A a localização da árvore, de P1 e P2 as localizações das pedras e de E1 e E2 as localizações das estacas podemos obter o seguinte diagrama (onde é possível definir os vetores u, v, x e z):
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Matemática
Resolvendo o Problema do Tesouro
[veja o problema aqui] [veja os pré-requisitos aqui]
Importante: como T é o ponto médio do segmento E1E2, tudo o que temos a fazer para encontrarmos as coordenadas de T é encontrar as coordenadas dos pontos E1 e E2. É isso que vamos fazer a seguir.
Observe que de acordo com a figura (vista como um plano complexo) temos:
z = x + yi
P2 = (40, 0) = 40 + 0i
Notando que o ângulo entre os vetores w e z é ?90° e lembrando que multiplicando um vetor por i ele sofre uma rotação de 90º, podemos escrever:
w = z?(?i)
w = (x + yi)?(?i) = ?xi ? yi² = ?xi + y = y ? xi = (y, ?x) = E1
Utilizando a interpretação geométrica de subtração entre vetores, obtemos o seguinte resultado:
v = A ? P2 = (x + yi) ? (40 + 0i) = (x ? 40) + yi
Uma vez que podemos obter o valor de u rotacionando o vetor v 90º, podemos escrever:
u = v?i
u = (x ? 40 + yi)?i = xi ? 40i + yi² = xi ? 40i ? y = ?y + (x ? 40)i
Novamente pela interpretação geométrica de subtração entre vetores temos:
u = E2 ? P2
Segue desta última igualdade que:
E2 = u + P2 = [?y + (x ? 40)i] + [40 + 0i] = (40 ? y) + (x ? 40)i = (40 ? y, x ? 40)
Resumindo: E1 = (y, ?x) e E2 = (40 ? y, x ? 40)
Como T é o ponto médio de E1E2, temos:
E o problema está resolvido. Para chegar no tesouro: basta caminhar 20 passos da pedra menor em direção à pedra maior, virar 90º à direita e caminhar mais 20 passos.
Clique aqui para ver (literalmente) que a posição de T não depende da posição de A.
Clique aqui para ver (literalmente) que a posição de T não depende da posição de A.
Referências: diversas aulas em video do PAPMEM (sobre números complexos).
Erros podem ser relatados aqui.
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