Retificação da Circunferência (Parte 2) – Método de Kochanski
Esta construção geométrica consiste em encontrar um segmento de reta que se aproxime da circunferência. Desta forma, também conseguimos uma boa aproximação para π.
1) Descreva uma circunferência de centro O e raio R;
2) Trace seu diâmetro vertical marcando os pontos A e B;
3) Trace uma reta tangente em A;
4) Construa um triângulo equilátero com um dos vértices em O e os outros dois vértices C e D na circunferência, de modo que o ponto médio E da aresta CD esteja no segmento AO;
5) Prolongue o segmento OC e marque o ponto F na intersecção com a tangente;
6) Partindo de F, marque os ponto G, H e I sobre a tangente, de modo que os segmentos FG, GH e HI sejam iguais a R;
7) O segmento BI aproxima a metade da circunferência. Se o raio R = 1, então o comprimento da circunferência será igual a 2π. Como BI aproxima a metade da circunferência, logo BI aproxima π.
Demonstração:
Aplicando o teorema pitagórico no triângulo retângulo ABI, obtemos:
Mas, AB = 2R e AI = 3R – FA, assim:
No triângulo retângulo OAF, temos a relação:
Como o triângulo OFJ é equilátero, seus lados são iguais, logo:
Substituindo (4) em (3), obtemos:
Substituindo (5) em (2), obtemos:
Assim, se tivermos R = 1:
Vejam que a relação (7) nos fornece uma aproximação para π com quatro casas decimais corretas. Para uma construção geométrica é realmente um feito!
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