Retificação da Circunferência (Parte 4)
Matemática

Retificação da Circunferência (Parte 4)


Ficou provado que é impossível a construção de um quadrado com mesma área que um círculo utilizando instrumentos euclidianos. O que conseguimos são somente boas aproximações. Encontrar um segmento de reta que aproxime $\pi$ também mobiliza muitos matemáticos.

Este método que apresento aqui foi desenvolvido por mim e aproxima $\pi$ em duas casas decimais, levando ao valor de $3,14093$. Vamos ver como se constrói este segmento.

Construção

$1)$ Inicie a construção num eixo ortogonal $xOy$;

$2)$ Descreva a circunferência $C_1$ de centro $O$ e raio $1$ e marque os ponto $A$ e $B$ na intersecção com as retas $Ox$ e $Oy$, respectivamente;

$3)$ Descreva a circunferência $C_2$ de centro $O$ e raio $2OA = 2$ e marque o ponto $C$ na intersecção com a reta $Ox$;

$4)$ Trace a bissetriz do ângulo $AOB$. Assim o ângulo $\theta=45°$;

$5)$ Suba a perpendicular ao eixo $x$ por $C$ e marque o ponto $M$ na intersecção com a bissetriz;

$6)$ Descreva um arco de raio $OM$ centrado em $O$ e marque o ponto $D$ na intersecção com a reta $Ox$;

$7)$ Construindo sucessivas mediatrizes convenientes, encontramos o ponto $P$ em $Oy$ de modo que $OP$ seja $5/16$ do raio de $C_1$;

$8)$ Com raio $OP$ e centro em $D$, descreva um arco marcando o ponto $E$ na intersecção com $Ox$.

$9)$ O Segmento $OE$ aproxima $\pi$ em $3,14093$.

Demonstração


Como o ângulo $\theta=45°$ e $CM$ é ortogonal ao eixo $x$, temos que $OC = CM = 2$. Assim:
\begin{matrix}
OM^2=OC^2+CM^2\\
OM^2=4+4\\
OM=2\sqrt{2}
\end{matrix}
Vejam que $OM = OD$. O segmento $OE = OD + DE$. O segmento $OD$ já encontramos e o segmento $DE = OP = 5/16$. Assim:
\begin{matrix}
OE=OD+DE\\
OE=2\sqrt{2}+\frac{5}{16}\\
OE=3,14093 \cong \pi
\end{matrix}

Veja mais: 

Retificação da Circunferência (Parte 1)
Retificação da Circunferência (Parte 2) - Método de Kochanski
Retificação da Circunferência (Parte 3) - Método de Gelder





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