Matemática

Sobre o Produto Misto

Prof. Paulo Sérgio, Blog Fatos Matemáticos.

O Produto Misto tem seu destaque na Álgebra Vetorial devido a sua interpretação geométrica que está relacionado ao volume de paralelepípedo ou tetraedro determinado por [;3;]

vetores. Neste post, veremos a sua definição, suas propriedades e aplicações.

Definição 1: Sejam os vetores $[;\vec{u}=(x_1,y_1,z_1);]$ , $[;\vec{v} = (x_2,y_2,z_2);]$ e $[;\vec{w} = (x_3,y_3,z_3);]$ . O produto misto desses vetores, tomados nesta ordem e denotado por $[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w});]$ é definido por:

$[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = \vec{u}\times \vec{v}\cdot \vec{w} \qquad (1);]$

Sendo:

$[;\vec{u}\times \vec{v} =\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{bmatrix} =;]$

$[;= (y_1z_2 - y_2z_1)\vec{i} - (x_1z_2 - x_2z_1)\vec{j} + (x_1y_2 - x_2y_1)\vec{k};]$

segue que:

$[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = \vec{u}\times \vec{v}\cdot \vec{w} = ;]$

[;= (y_1z_2 - y_2z_1)x_3 - (x_1z_2 - x_2z_1)y_3 + (x_1y_2 - x_2y_1)z_3;]

$[; =\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \\x_3 & y_3 & z_3 \\ \end{bmatrix};]$

Ou seja, o produto misto dos vetores $[;\vec{u};]$ , $[;\vec{v};]$ e $[;\vec{w};]$ é um determinante de ordem [;3;]

e desta forma, suas propriedades decorrem das propriedades dos determinantes. É importante observar que o produto misto é um número real.

Exemplo 1: Calcule $[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w});]$ , sendo $[;\vec{u} = (1,-1,2);]$ , $[;\vec{v} = (2,0,1);]$ e $[;\vec{w} = (-1,3,0);]$ .

Resolução: Pela definição acima, temos;

$[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) =\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ \end{bmatrix} = 10;]$

Proposição 1: Haverá uma troca de sinal no produto misto se fizermos uma permutação entre dois vetores quaisquer, isto é,

$[;(\vec{v},\vec{u},\vec{w}) = (\vec{w},\vec{v},\vec{u}) = (\vec{u},\vec{w},\vec{v}) = \ldots = - (\vec{u},\vec{v},\vec{w});]$

Demonstração: Segue diretamente do fato que a purmutação entre duas linhas de um determinante, altera o seu sinal.

Proposição 2: Valem as seguintes propriedades operatórias para o produto misto.

i) $[;(\vec{u_1} + \alpha \vec{u_2},\vec{v},\vec{w}) = (\vec{u_1},\vec{v},\vec{w}) + \alpha(\vec{u_2},\vec{v},\vec{w});]$ ;

ii) $[;(\alpha \vec{u}, \beta \vec{v}, \gamma \vec{w}) = \alpha \beta \gamma (\vec{u},\vec{v},\vec{w});]$ ;

iii) Se dois vetores quaisquer são paralelos, então o produto misto é nulo, isto é;

$[;(\vec{u},k\vec{u},\vec{w}) = 0;]$

Demonstração: Segue imediatamente das propriedades de determinantes.

Proposição 3: A permutação das operações " $[;\times;]$ " e " $[;\cdot;]$ " no produto misto não alteral o seu valor, isto é;

$[;\vec{u}\times \vec{v}\cdot \vec{w} = \vec{u}\cdot \vec{v} \times \vec{w};]$ .

Demonstração:

$[;\vec{u}\cdot \vec{v}\times \vec{w} = \vec{v}\times \vec{w}\cdot \vec{u} = (\vec{v},\vec{w},\vec{u}) =- (\vec{u},\vec{w},\vec{v}) = (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = \vec{u}\times \vec{v}\cdot \vec{w} ;]$

Onde usamos a propriedade comutativa do produto escalar e a Prop. 1.

Sabemos que [;3;]

pontos não colineares sempre determina um único plano, mas [;4;]

pontos no espaço nem sempre são coplanares. Na proposição seguinte, veremos a condição para que isto ocorra.

Proposição 4: Os pontos [;A(x_1,y_1,z_1);]

são coplanares se e somente se $[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = 0;]$ , onde $[;\vec{u} = \vec{AB};]$ , $[;\vec{v} = \vec{AC};]$ e $[;\vec{w} = \vec{AD};]$ .

Demonstração: Suponhamos que os pontos [;A;]

sejam coplanares. Assim, os vetores $[;\vec{u};]$ , $[;\vec{v};]$ e $[;\vec{w};]$ são coplanares, de modo que existem $[;\alpha, \beta \in \mathbb{R};]$ tais que $[;\vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v};]$ . Assim;

$[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = (\vec{u},\vec{v}, \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}) = \alpha (\vec{u},\vec{v},\vec{u}) + \beta (\vec{u},\vec{v},\vec{v}) = 0;]$

devido a Prop. 2.

Reciprocamente, se $[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = 0;]$ , então os vetores $[;\vec{u}\times \vec{v};]$ e $[;\vec{w};]$ são ortogonais. Mas isto somente é possível se $[;\vec{w};]$ pertencer ao plano definido por $[;\vec{u};]$ e $[;\vec{v};]$ , ou seja, $[;\vec{u};]$ , $[;\vec{v};]$ e $[;\vec{w};]$ são coplanares e consequentemente os pontos [;A;]

Proposição 5: (Interpretação Geométrica do Produto Misto). Sejam $[;\vec{u};]$ , $[;\vec{v};]$ e $[;\vec{w};]$ três vetores não coplanares. O módulo de $[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w});]$ é numericamente igual ao volume do paralelepípedo formado por esses vetores.

Demonstração: Na figura acima, vemos que:

$[;V = Sh = \mid \vec{u}\times \vec{v}\mid h \qquad (2);]$

Mas;

$[;\cos \theta = \frac{h}{\mid\vec{w}\mid} \quad \Rightarrow \quad h = \mid \vec{w}\mid \cos \theta \qquad (3);]$

Substituindo [;(3);]

, temos:

$[;V = \mid \vec{u}\times \vec{v} \mid \mid \vec{w}\mid \cos \theta = \mid \vec{u}\times \vec{v}\cdot \vec{w}\mid = \mid (\vec{u},\vec{v},\vec{w})\mid;]$

Corolário 1: O volume do tetraedro determinado pelos vetores $[;\vec{u};]$ , $[;\vec{v};]$ e $[;\vec{w};]$ é dado por:

$[;V = \frac{\mid (\vec{u},\vec{v},\vec{w})\mid}{6};]$

Exemplo 2: Determine o volume do tetraedro [;OABC;]

, na figura acima.

Resolução: Da figura, $[;\vec{OA} = (a,a,0);]$ , $[;\vec{OB} = (0,a,a);]$ e $[;\vec{OC} = (a,0,a);]$ . Assim;

$[;V =\frac{\mid (\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})\mid}{6};]$

Sendo;

$[;(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}) =\begin{vmatrix} a & a & 0\\ 0 & a & a \\ a & 0 & a \\ \end{bmatrix} = 2a^3;]$

segue que;

$[;V = \frac{2a^3}{6} =\frac{a^3}{3};]$

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