Teorema da Decomposição de Polinômios
Matemática

Teorema da Decomposição de Polinômios


Os primeiros registros encontrados sobre a resolução de algumas equações de segundo grau são de aproximadamente $1700a.C.$ e pertence à civilizações antigas dos sumérios, egípcios e babilônios.

Os gregos aperfeiçoaram a técnica de resolução de equações de segundo grau utilizando a Geometria.

A obra Al-jabr W'al-Magabala do matemático e astrônomo Al-Kowarizmi, datada do século $VIII$ inclui resoluções completas de equações de $1º$ e $2º$ graus. A palavra "álgebra" surge daí.

No século $XVI$ com o Renascimento italiano, houve um progresso na Álgebra: a resolução de equações de $3º$ e $4º$ graus. A história da resolução dessas equações envolvem segredos, desafios e traições, culminando em $1545$ com a publicação de Ars Magna, de Girolamo Cardano, contendo o processo de resolução e a devida demonstração da fórmula da resolução de uma equação de terceiro grau, além de explicar como se resolver uma equação de quarto grau.

Durante dois séculos e meio, tentou-se encontrar uma fórmula para a resolução de equações de $5º$, mas somente em $1824$ o matemático norueguês Niels Abel $(1802-1829)$ provou consistentemente a impossibilidade de resolução dessas equações por meio das quatro operações básicas aritméticas e de radiciações.

Logo depois, Evariste Galois $(1811-1832)$ generalizou as condições de resolubilidade de uma equação algébrica qualquer, dando origem à Álgebra Moderna.

Teorema Fundamental da Álgebra

O Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) nos garante que todo polinômio $p(x)=0$ de grau $n$, $n \geq 1$, admite pelo menos uma raiz complexa, real ou não.

A demonstração desse teorema foi a tese de doutoramento do grande Gauss $(1777-1855)$, então com $21$ anos, constituindo um elemento central para o estudo das equações algébricas.

Teorema da Decomposição em Fatores de Primeiro Grau

Uma consequência do Teorema fundamental da Álgebra é o Teorema da Decomposição.


Teorema:

Todo polinômio $P(x)$ de grau $n \geq 1$:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots +a_1x + a_0
\end{equation}
pode ser fatorado como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n)
\end{equation}
onde $r_1, r_2, \cdots , r_n$ são todas as raízes de $P(x)$.

Demonstração:

Seja $P(x)$ um polinômio de grau $n \geq 1$:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots +a_1x + a_0
\end{equation}
Pelo Teorema fundamental da Álgebra (TFA) , $P(x)$ admite uma raiz complexa $r_1$. Logo, podemos escrever $P(x)$ como:
\begin{equation}
P(x) \equiv (x-r_1) \cdot Q_1(x)
\end{equation}
onde $Q_1(x)$ tem grau $n-1$.

Se $n-1 \geq 1$, então pelo TFA, $Q_1(x)$ admite uma raiz complexa $r_2$ e podemos escrever:
\begin{equation}
Q_1(x) \equiv (x-r_2)\cdot Q_2(x)
\end{equation}
Substituindo $(5)$ em $(4)$, obtemos:
\begin{equation}
P(x) \equiv (x-r_1)(x-r_2)\cdot Q_2(x)
\end{equation}
Repetindo esse processo até que $Q_n(x)$ seja constante, obtemos:
\begin{equation}
P(x) \equiv (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots (x-r_n)\cdot Q_n(x)
\end{equation}
Por definição de identidade de polinômios, temos que o coeficiente $a_n$ de $P(x)$ deve ser igual a $Q_n(x)$. Logo:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_n(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots (x-r_n)
\end{equation}

Exemplos:

$1)$ Fatorar o polinômio $P(x) \equiv 2x^2-7x+3$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Primeiramente devemos encontrar as raízes do polinômio. Para isso, igualamos a zero e assim poderemos aplicar a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation*}
2x^2-7x+3=0\\
x=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot2\cdot3}}{4}\\
x=\frac{7\pm 5}{4}\\
x_1=\frac{7+5}{4}=3\\
x_2=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}
\end{equation*}
Agora, pelo Teorema da Decomposição, temos:
\begin{equation*}
P(x) \equiv 2(x-3)(x-1/2)
\end{equation*}

$2)$ Decompor $P(x) \equiv 4x^2-x-3$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Fazemos:
\begin{equation*}
4x^2-x-3=0\\
x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 4\cdot(-3)}}{8}\\
x_1=\frac{1+7}{8}=1\\
x_2=\frac{1-7}{8}=-\frac{3}{4}
\end{equation*}
Assim pelo Teorema da Decomposição:
\begin{equation*}
P(x)\equiv 4(x-1)(x+3/4)
\end{equation*}

$3)$ Decompor $P(x) \equiv x^3-8x^2 +12x$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Fazemos:
\begin{equation*}
x^3-8x^2+12x=0\\
x(x^2-8x+12)=0
\end{equation*}
Então, temos que $x=0$ ou $x^2-8x+12=0$. Aplicando a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation*}
x^2-8x+12=0\\
x=\frac{8\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 12}}{2}\\
x=\frac{8\pm 4}{2}\\
x_1=6\\
x_2=2
\end{equation*}
Assim, pelo Teorema da Decomposição:
\begin{equation*}
P(x)\equiv 1(x-0)(x-6)(x-2)\\
P(x) \equiv (x-2)(x-6)
\end{equation*}

$4)$ Uma das raízes do polinômio $P(x) \equiv 3x^3-20x^2+23x+10$ é $5$. Fatorar $P(x)$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Como $5$ é uma raiz de $P(x)$, pelo Teorema de D'Alembert, temos que $P(x)$ é divisível por $(x-5)$, ou seja $P(x) \equiv (x-5)\cdot Q(x)$. Obtemos $Q(x)$ dividindo $P(x)$ por $(x-5)$. Assim, podemos aplicar Briot-Ruffini para encontrarmos as outras raízes:


Logo, $Q(x) \equiv 3x^2-5x-2$. Portanto, $P(x) \equiv (x-5)(3x^2-5x-2)$.

As raízes de $P(x)$ são dadas por: $(x-5)(3x^2-5x-2)=0$. Então, ou $x-5=0$ ou $3x^2-5x-2=0$. Para $x-5=0$, temos que $x=5$. Aplicando a fórmula da equação de segundo grau na segunda equação, encontramos como raízes $2$ e $-1/3$. Assim, pelo Teorema da Decomposição:
\begin{equation*}
P(x) \equiv 3(x-5)(x-2)(x+1/3)
\end{equation*}

$5)$ Sabendo que $3$ é uma raiz dupla da equação $x^4-12x^3+53x^2-102x+72=0$, obter as outras raízes em $\mathbb{C}$.

Pelo Teorema da Decomposição, a equação pode ser reescrita como:
\begin{equation*}
(x-3)\underbrace{(x-3)\overbrace{(x-r_3)(x-r_4)}^{Q_2(x)}}_{Q_1(x)}=0
\end{equation*}
onde $r_3$ e $r_4$ são outras duas raízes da equação, além do $3$.

Dividindo $P(x)\equiv x^4-12x^3+53x^2 -102x +72$ por $x-3$, obtemos $Q_1(x)$. E dividindo $Q_1(x)$ por $x-3$, obtemos $Q_2(x)$. Aplicando Briot-Ruffini:


Portanto, $Q_1(x) \equiv x^3-9x^2+26x-24$. Para $Q_2(x)$, fazemos:



Portanto, $Q_2(x) \equiv x^2-6x+8$.

Agora, reescrevemos a equação original como:
\begin{equation*}
(x-3)(x-3)(x^2-6x+8)=0
\end{equation*}
Resolvendo cada uma das equações:
\begin{equation*}
x-3=0\\
x=3
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
x^2-6x+8=0\\
x_1=4\\
x_2=2
\end{equation*}
Portanto, além da raiz dupla $r_1=r_2=3$, a equação admite outras duas raízes iguais a $r_3=2$ e $r_4=4$.

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Manoel Paiva - Ed. Moderna

Veja mais:

➊ Divisão de Polinômios
➋ Multiplicidade de uma Raiz
➌ Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
 
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