Matemática

Um erro sutil (sobre a noção de pertinência) - 06/05 Dia Nacional da Matemática

Hoje, 06 de maio, como bem nos alertou a UBM, é comemorado o dia Nacional da Matemática (no Brasil, é claro). É, portanto, uma excelente data para se iniciar uma série de postagens.

O objetivo será esclarecer alguns pontos que podem causar confusão.

Em alguns casos os erros podem, inclusive, comprometer a clareza e precisão da Matemática (duas características fundamentais desta ciência), como é o caso do que vem a seguir.

Seja ? um plano, sejam P e Q dois pontos e seja r uma reta.

Observe a figura:

Note que:

O ponto P pertence ao plano ?;

O ponto Q pertence ao plano ?;

O ponto P pertence à reta r;

O ponto Q pertence à reta r;

A reta r pertence ao plano ?.

Está certo isto? Podemos afirmar com absoluta certeza que se dois pontos da reta r pertencem ao plano? então a reta r pertence ao plano ??

De fato, não podemos fazer isso de forma alguma!

Com efeito, tanto o ponto P quanto o ponto Q pertencem ao plano ?, o que pode ser representado como se segue:

P ? ?

Q ? ?

Estes pontos também pertencem à reta r, o que se pode representar por

P,Q ? r

Na Matemática, o símbolo ? é utilizado para indicar a relação de pertinência. Geralmente esta relação não é definida, ela é aceita como um conceito primitivo, ou seja, se aceita que os indivíduos tenham uma ideia intuitiva do que significa pertencer. Este conceito aparece quando estamos trabalhando com a linguagem dos conjuntos de modo que utilizamos a expressão x ? X ?para indicar que um elemento x faz parte de um conjunto X?. Esta expressão pode ser lida como ?x pertence a X? ou ?x é elemento do conjunto X?. No nosso caso diríamos, por exemplo, que ?P é elemento da reta r? ou ?Q pertence ao plano ??.

No caso da geometria, em geral se considera que tanto os planos quanto as retas são conjuntos formados por pontos. Deste modo é errado dizer que a reta r pertence ao plano ?, pois o plano não é um conjunto de retas. Dito de outro modo, a reta r não pertence ao plano, pois dizer que a reta r pertence ao plano significa que a reta é um elemento do plano, mas a reta não pode ser um elemento do plano, pois o plano não é um conjunto de retas, mas sim um conjunto de pontos.

Ora, intuitivamente todos sabem o se quis dizer com ?a reta r pertence ao plano ??. Qual seria então a maneira correta expressar esta ideia? Felizmente há na matemática outra relação, dita de inclusão, representada pelo símbolo ?. Este símbolo é utilizado para indicar que determinado conjunto é um subconjunto de outro. A definição de subconjunto diz: ?Sejam A e B dois conjuntos; diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A também é elemento de B?.

Podemos notar que este é justamente o caso considerado, ou seja, todos os pontos pertencentes à reta r também pertence ao plano ?, em outras palavras: todo elemento de r também é elemento de ?, logo devemos dizer que a reta r está contida no plano ?. Simbolicamente:

r ? ?

A expressão acima também pode ser lida como ?r é subconjunto de ?? ou ainda ?r é parte de ??.

Que fique clara então a distinção existente entre as noções matemáticas de pertinência e inclusão: dizer que algo "pertence" é diferente de dizer que algo "está contido", não somente em planos mas em qualquer outro conjunto.

(A propósito, é um dos axiomas da geometria que se dois pontos de uma reta pertencem a um plano então esta reta está contida no plano).

Referências:

LIMA, Elon Lages. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volumes 1 e 2. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM 2006. (Coleção do Professor de Matemática)

MONTEIRO, L. H. Jacy. Teoria Elementar dos Conjuntos. In: Elementos de Álgebra. Rio de janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 1974, p. 1-11.

Erros podem ser indicados aqui.

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