Uma Solução Geométrica para o Problema das Idades
Matemática

Uma Solução Geométrica para o Problema das Idades


Tenho o triplo da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, teremos juntos 56 anos. Qual é a minha idade?

Este problema foi célebre numa época em que havia a preocupação de resolver este e outros tipos de problemas por Aritmética e não por Álgebra. No âmbito escolar, ele causa uma espécie de terror, enquanto fora dele exerce até um fascínio sobre as pessoas, talvez pelo seu enunciado em estilo de charada.

Vamos resolver este problema geometricamente. Sim, é possível! Se representarmos, num sistema de coordenadas cartesianas, a evolução da idade (em anos) de um indivíduo através do tempo (em anos), obteremos sempre uma reta paralela à bissetriz do quadrante. Na realidade, obtermos a própria bissetriz se tomarmos o “ano zero” como ano de seu nascimento, pois no ano 1 ele terá 1 ano, e assim por diante. Isto é um fato que pode convencer mesmo uma pessoa que jamais estudou Geometria Analítica. Já a idade de uma pessoa d anos mais velha terá como gráfico uma reta paralela, pois a diferença entre as idades dos dois permanecerá constante e igual a d em qualquer ano.

[Figura 1]

Voltando ao problema inicial, notamos que há dois indivíduos envolvidos: um que fala (vamos chamá-lo de E) e outro que escuta (vamos chamá-lo de T). Evidentemente E é mais velho que T (“quando eu tinha a idade que tu tens”), digamos que d anos, de modo que graficamente assemelham-se à figura 1.

Notamos também que há três épocas mencionadas no problema, que chamaremos de P (passada), A (atual) e F (futura). A maneira como se relacionam A e P (“quando eu tinha a idade que tu tens”) e A e F (“quando tu tiveres a idade que eu tenho”) mostra que elas se situam graficamente como a figura 2:
[Figura 2]

A inclinação de 45° das retas do gráfico acarreta que todos os segmentos assinalados verticalmente têm comprimento igual a d.

O dado de que a idade de E tem na época A (isto é, OX) é o triplo da idade que T tinha na época P (isto é, OZ), juntamente com o fato de que XY = YZ = d, obriga a que OZ seja também igual a d (estamos evitando escrever a equação 2d + OZ = 3OZ, já que ist o podemos observar na figura ). Mas, então, a reta da idade de E tem obrigatoriamente de passar por Z e o gráfico da figura 2 se transforma em:

[Figura 3]

Agora, então, é claro que na época F, a idade de T é 3d enquanto a de E é 3d + d. Logo, os dois juntos têm 7d que deve ser igual a 56, então d é igual a 8 e “a idade que eu tenho” é 3 x 8 = 24, e esta é a respota!
 
Referências
 
[1] RPM nº 16
[2] Matemática Vol. Único – Facchinni

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