Matemática
Critérios de multiplicidade de 3, 7, 9, 11, 13 e potências de 2 e 5
Olá gente! Hoje eu enunciarei e demonstrarei os mais populares critérios de multiplicidade.
Inicialmente, um fato que nos ajudará muito é o seguinte:
No sistema de numeração decimal, um número
![x_1x_2\cdots x_n [;x_1x_2\cdots x_n;]](matematica/matematica-5631c8c448ffa.)
representa:
![10^{n-1}x_1+10^{n-2}x_2 \cdots + 10^1x_{n-1} + 10^0x_n [;10^{n-1}x_1+10^{n-2}x_2 \cdots + 10^1x_{n-1} + 10^0x_n;]](matematica/matematica-5631c8c458ae0.)
Assim,
Critério de multiplicidade de 3-Enunciado: Um número é divisível por 3 se e somente se a soma dos seus algarismos é divisível por 3.
Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 3.Demonstração: De fato, se
![x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c482944.)
Usando aritmética modular verificamos rapidamente que
![10^k \equiv 1 \pmod{3} [;10^k \equiv 1 \pmod{3};]](matematica/matematica-5631c8c498728.)
logo,
![10^k = 3a +1 [;10^k = 3a +1;]](matematica/matematica-5631c8c4a80e5.)
Sendo
![a [;a;]](matematica/matematica-5631c8c4b6d45.)
um número natural.
Assim,
![x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n = [;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1}x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n =;]](matematica/matematica-5631c8c482944.%20=)
![(3a_1 + 1)x_1 + [;(3a_1 + 1)x_1 +;]](matematica/matematica-5631c8c4e1a71.)
![(3a_2 + 1) x_2 + \cdots + [; (3a_2 + 1) x_2 + \cdots +;]](matematica/matematica-5631c8c4f1772.)
![x_n [;x_n;]](matematica/matematica-5631c8c50c39f.)
![= 3a_1 x_1 + x_1 + 3a_2 x_2 + x_2 + \cdots + x_n = 3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots a_{n-1}x_{n-1} ) + x_1 + x_2 +\cdots + x_n [;= 3a_1 x_1 + x_1 + 3a_2 x_2 + x_2 + \cdots + x_n = 3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots a_{n-1}x_{n-1} ) + x_1 + x_2 +\cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c51bb1e.)
Fica fácil perceber que:
![x_1 x_2x_3 \cdots x_n [;x_1 x_2x_3 \cdots x_n;]](matematica/matematica-5631c8c52b55d.)
![= [;=;]](matematica/matematica-5631c8c53afb9.)
![3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_{n-1}x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n [;3(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_{n-1}x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c54a0db.)
é multiplo de 3 se e somente se
![x_1 + x_2 + \cdots + x_n [;x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c562e39.)
for um múltiplo de 3.
C.Q.D.Exemplo:
1- Verifique que:
![123456789 [;123456789;]](matematica/matematica-5631c8c571ce8.)
é um multiplo de 3.
De fato
![1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 [;1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;]](matematica/matematica-5631c8c5817e7.)
e
![4+5=9 [;4+5=9;]](matematica/matematica-5631c8c59099a.)
logo,
![123456789 [;123456789;]](matematica/matematica-5631c8c571ce8.)
é de fato um múltiplo de 3.
Critério de multiplicidade de 9-Enunciado: Um número é divisível por 9 se e somente se a soma de seus algarismos é um múltiplo de 9.
Se a soma for grande, repita o processo acima até que seja possível verificar a divisão por 9.Demonstração:De fato, se
![x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c5bc43b.)
Como
![10^k [;10^k;]](matematica/matematica-5631c8c5d1f4c.)
deixa resto 1 quando dividido por
![9 [;9;]](matematica/matematica-5631c8c5e0bdf.)
,
![10^k = 9a + 1 [;10^k = 9a + 1;]](matematica/matematica-5631c8c5d1f4c.%20=%209a%20+%201)
sendo a e k números naturais, temos:
![x_1x_2 \cdots x_n= (9a_1 +1)\cdot x_1 + (9a_2 + 1)\cdot x_2 + \cdots + x_n= [;x_1x_2 \cdots x_n= (9a_1 +1)\cdot x_1 + (9a_2 + 1)\cdot x_2 + \cdots + x_n=;]](matematica/matematica-5631c8c61136f.)
![=9\cdot a_1\cdot x_1 + x_1 + 9\cdot a_2\cdot x_2 + x_2 + x_n = 9\cdot (a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_{n-1}\cdot x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n [;=9\cdot a_1\cdot x_1 + x_1 + 9\cdot a_2\cdot x_2 + x_2 + x_n = 9\cdot (a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_{n-1}\cdot x_{n-1}) + x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c53afb9.9%5Ccdot%20a_1%5Ccdot%20x_1%20+%20x_1%20+%209%5Ccdot%20a_2%5Ccdot%20x_2%20+%20x_2%20+%20x_n%20=%209%5Ccdot%20%28a_1%5Ccdot%20x_1%20+%20a_2%5Ccdot%20x_2%20+%20a_%7Bn-1%7D%5Ccdot%20x_%7Bn-1%7D%29%20+%20x_1%20+%20x_2%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n)
que é divisivel por
![9 [;9;]](matematica/matematica-5631c8c5e0bdf.)
se e somente se
![x_1 + x_2 + \cdots + x_n [;x_1 + x_2 + \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c562e39.)
for divisivel por 9.
C.Q.D.Exemplo:
1- Quantas soluções tem a equação abaixo?
![9x+45y=11223548896547 [;9x+45y=11223548896547;]](matematica/matematica-5631c8c5e0bdf.x+45y=11223548896547)
Conforme mostrei neste post, essa equação possui solução se e somente se
![mdc(9,45) [;mdc(9,45);]](matematica/matematica-5631c8c662755.)
divide
![11223548896547 [;11223548896547;]](matematica/matematica-5631c8c671889.)
porém
![=9 [;=9;]](matematica/matematica-5631c8c53afb9.9)
e
![1+1+2+2+3+5+4+8+8+9+6+5+4+7=65 [;1+1+2+2+3+5+4+8+8+9+6+5+4+7=65;]](matematica/matematica-5631c8c6a5266.)
como
![65 [;65;]](matematica/matematica-5631c8c6b41a4.)
não é um multiplo de 9, pelo critério de multiplicidade de 9,
![11223548896547 [;11223548896547;]](matematica/matematica-5631c8c671889.)
também não é.
Logo, a equação não possui solução.
Critério de multiplicidade de 5 -Enunciado: Um número é múltiplo de 5 se e somente se ele termina em 0 ou 5.
Demonstração:Usando o fato:
![x_1x_2x_3\cdots x_n=10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n [;x_1x_2x_3\cdots x_n=10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c6d2fb8.)
vamos fazer:
![10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n= 10(10^{n-2}^\cdot x_1 + 10^{n-3} \cdot x_2 + \cdots + x_{n-1}) + x_n [;10^{n-1}\cdot x_1 + 10^{n-2} \cdot x_2 + \cdots + x_n= 10(10^{n-2}^\cdot x_1 + 10^{n-3} \cdot x_2 + \cdots + x_{n-1}) + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c6e2be5.)
Como
![10 [;10;]](matematica/matematica-5631c8c6f1d67.)
é múltiplo de 5, então
![x_1 x_2\cdots x_n [;x_1 x_2\cdots x_n;]](matematica/matematica-5631c8c70d443.)
será múltiplo de 5 se e somente se
![x_n [;x_n;]](matematica/matematica-5631c8c50c39f.)
for múltiplo de
![5 [;5;]](matematica/matematica-5631c8c72bb52.)
ou seja,
![x=0 [;x=0;]](matematica/matematica-5631c8c740d0d.)
ou
![x=5 [;x=5;]](matematica/matematica-5631c8c756834.)
.
De modo mais geral, um
critério de multiplicidade de potências de 5 é o seguinte:
Enunciado: Um número é múltiplo de
,sendo k natural, se e somente se o número formado pelos k últimos algarismos é multiplo de 5 .
Demonstração: ![x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n [; x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c7752fc.)
![x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n [;x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c448ffa.%20=%2010%5E%7Bn-1%7D%20x_1%20+%2010%5E%7Bn-2%7Dx_2%20+%20%5Ccdots%2010%5Ek%20x_%7Bn-k%7D%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n)
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](matematica/matematica-5631c8c799686.)
Se
![10=5\cdot 2 [;10=5\cdot 2;]](matematica/matematica-5631c8c6f1d67.=5%5Ccdot%202)
então
![10^k=5^k \cdot 2^k [;10^k=5^k \cdot 2^k;]](matematica/matematica-5631c8c5d1f4c.=5%5Ek%20%5Ccdot%202%5Ek)
assim,
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](matematica/matematica-5631c8c7cd488.)
é múltiplo de
se e somente se
for múltiplo de
.
Repare que
é o número formado pelos k últimos algarismos de ![x_1x_2x_3\cdots x_n [;x_1x_2x_3\cdots x_n;]](matematica/matematica-5631c8c83017a.)
C.Q.D.Daí
segue os critérios de
![25, 125, 625,\cdots [;25, 125, 625,\cdots;]](matematica/matematica-5631c8c845a62.)
Exemplo:
1- Quantos números de 3 algarismos são múltiplos de 25?
Para ser múltiplo de
![25=5^2 [;25=5^2;]](matematica/matematica-5631c8c8544b8.)
ele deve terminar em
![00, 25, 50 [;00, 25, 50;]](matematica/matematica-5631c8c8638f6.)
ou
![75 [;75;]](matematica/matematica-5631c8c87273f.)
Assim, os números que procuramos são da forma XA sendo que X pode ser
![1,2,3,4,5,6,7,8 [;1,2,3,4,5,6,7,8;]](matematica/matematica-5631c8c8821c2.)
ou
![9 [;9;]](matematica/matematica-5631c8c5e0bdf.)
e A pode ser
![00, 25, 50 [;00, 25, 50;]](matematica/matematica-5631c8c8638f6.)
ou
![75 [;75;]](matematica/matematica-5631c8c87273f.)
. Assim, X pode ser escolhido de 9 formas e A de 4 formas. Pelo principio multiplicativo (que é enunciado nessa postagem) há
![36=9 \cdot 4 [;36=9 \cdot 4;]](matematica/matematica-5631c8c8c2cc7.)
números de 3 algarismos que são múltiplos de 25.
Critério de multiplicidade de potências de 2-
Enunciado: Um número é múltiplo de
,sendo k natural, se e somente se o número formado pelos k últimos algarismos é múltiplo de
.
Demonstração: É muito parecida com a demonstração feita acima.
![x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n [; x_1x_2 \cdots x_n= 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2+ \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c7752fc.)
![x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n [;x_1x_2\cdots x_n = 10^{n-1} x_1 + 10^{n-2}x_2 + \cdots 10^k x_{n-k} + \cdots + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c448ffa.%20=%2010%5E%7Bn-1%7D%20x_1%20+%2010%5E%7Bn-2%7Dx_2%20+%20%5Ccdots%2010%5Ek%20x_%7Bn-k%7D%20+%20%5Ccdots%20+%20x_n)
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot 10^{k} + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](matematica/matematica-5631c8c799686.)
Se
então
assim,
![(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n [;(10^{n-k-1}x_1 + 10^{n-k-2}x_2+ \cdots + x_{n-k})\cdot (5^k\cdot 2^k) + 10^{k-1}x_{n-k+1} + 10^{k-2}x_{n-k+2} + \cdots +x_n;]](matematica/matematica-5631c8c7cd488.)
é múltiplo de
se e somente se
for múltiplo de
.
Repare que
é o número formado pelos k últimos algarismos de
.
Daí segue os critérios de ![2, 4, 8, 16, 32, \cdots [;2, 4, 8, 16, 32, \cdots;]](matematica/matematica-5631c8c9b3250.)
Critério de multiplicidade de 7-
Enunciado: Um número
é múltiplo de
se e somente se o número que não contém o último algarismo subtraido do dobro do último algarismo for um múltiplo de 7. Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 7.
Demonstração: Primeiro escrevemos ![x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c9ec1be.)
Se:
(o número que não contém o último algarismo subtraido do dobro do último algarismo for um múltiplo de 7)
Então: ![x_1x_2\cdots x_{n-1}=7k+2x_n [;x_1x_2\cdots x_{n-1}=7k+2x_n;]](matematica/matematica-5631c8ca1611e.)
Assim,
que é certamente um múltiplo de 7.
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
seja um múltiplo de
. Vamos supor por absurdo, que
sendo
e
primos com
. Clique aqui para ler mais sobre demonstrações por absurdo.
Se
então
. Assim,
Absurdo, pois como
e
são primos com
, então
não será múltiplo de
.
C.Q.D.
Critério de multiplicidade de 11-
Enunciado: Um número
é múltiplo de
se e somente se o número que não contém o último algarismo subtraido do último algarismo for um múltiplo de
.Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 11.
Demonstração: Primeiro escrevemos ![x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c9ec1be.)
Se:
(o número que não contém o último algarismo subtraido do último algarismo for um múltiplo de
)
Então: ![x_1x_2 \cdots x_{n-1}=11k + x_n [;x_1x_2 \cdots x_{n-1}=11k + x_n;]](matematica/matematica-5631c8cbbf7ee.)
Assim,
que é certamente um múltiplo de
.
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
seja um múltiplo de
. Vamos supor por absurdo, que
sendo
e
primos com
.
Se
então
. Assim
. Absurdo, pois como
e
são primos com
, então
não será múltiplo de
.
C.Q.D.
Critério de multiplicidade de 13-
Enunciado: Um número
é múltiplo de
se e somente se o número que não contém o último algarismo somado ao quádruplo do último algarismo for um múltiplo de
.Se o número obtido for grande repita o processo até que seja possível verificar a divisão por 13.
Demonstração: Primeiro escrevemos ![x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n [;x_1x_2 \cdots x_n = 10(x_1x_2\cdots x_{n-1}) + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c9ec1be.)
Se:
(o número que não contém o último algarismo somado ao quádruplo do último algarismo for um múltiplo de
)
Então: ![x_1x_2\cdots x_{n-1} = 13k - 4\cdot x_n [;x_1x_2\cdots x_{n-1} = 13k - 4\cdot x_n;]](matematica/matematica-5631c8cd6f029.)
Assim,
que é certamente um múltiplo de
.
Mostramos a volta, para mostrar a ida suponha que
seja um múltiplo de
. Vamos supor por absurdo, que
sendo
e
primos com
.
Se
então
. Assim,
![x_1x_2 \cdots x_n = [;x_1x_2 \cdots x_n =;]](matematica/matematica-5631c8ce4a1bc.)
![10\cdot (lk - 4\cdot x_n) + x_n [;10\cdot (lk - 4\cdot x_n) + x_n;]](matematica/matematica-5631c8c6f1d67.%5Ccdot%20%28lk%20-%204%5Ccdot%20x_n%29%20+%20x_n)
![= [;=;]](matematica/matematica-5631c8c53afb9.)
Absurdo, pois como
e
são primos com
, então
não será múltiplo de
.
C.Q.D.
O.B.S.: Sabendo que
podemos enunciar um critério de multiplicidade de 7, 11 e 13 que é o seguinte:
Um número
é múltiplo de 7, 11 ou 13 se e somente se
for respectivamente múltiplo de 7, 11 ou 13.
A grande vantagem desse critério é que ele agiliza a verificação da divisibilidade por 7, 11 e 13 para números muito grandes.
A demonstração é parecida com as apresentadas acima e por isso será deixada como exercício.
Além dos critérios apresentados acima, podemos enunciar o seguinte:
Se
sendo
então para verificar se
divide
é só verificar se
x divide
E se
divide
.
A demonstração é a seguinte:
Se x divide
então ![x_1x_2\cdots x_n [;x_1x_2\cdots x_n;]](matematica/matematica-5631c8c448ffa.)
![=ax [;=ax;]](matematica/matematica-5631c8c53afb9.ax)
Se
divide
então ![x_1x_2\cdots x_n [;x_1x_2\cdots x_n;]](matematica/matematica-5631c8c448ffa.)
![=by [;=by;]](matematica/matematica-5631c8c53afb9.by)
logo, ![ax=by [;ax=by;]](matematica/matematica-5631c8c4b6d45.x=by)
como
temos que:
e ![b=x \cdot k [;b=x \cdot k;]](matematica/matematica-5631c8d05056d.)
Assim, ![x_1x_2\cdots x_n [;x_1x_2\cdots x_n;]](matematica/matematica-5631c8c448ffa.)
![=ax= y\cdot x \cdot k= N \cdot k [;=ax= y\cdot x \cdot k= N \cdot k;]](matematica/matematica-5631c8c53afb9.ax=%20y%5Ccdot%20x%20%5Ccdot%20k=%20N%20%5Ccdot%20k)
C.Q.D.
Daí obtemos os critérios de multiplicidade de: ![6, 12, 14, 15, 18, 21 \cdots [;6, 12, 14, 15, 18, 21 \cdots;]](matematica/matematica-5631c8d07ca08.)
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