Matemática
Equação do Segundo Grau
Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo:
Equação Segundo Grau
onde a, b e c são números conhecidos com a 0.
Exemplos:
1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5)
2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0)
3º) 4x2– 11 = 0 (a = 4, b = 0 e c = –11)
A – Resolução da equação do 2º grau
Exemplos:
1º) Resolver em R a equação:
x2-16=0
Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente b é igual a zero por isto ela é chamada de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:
x2-16=0 x2=16
x2-16=0 x = –4 ou x = +4
Assim:
Equação do Segundo Grau
2º) Resolver em R a equação:
x2 + 11x = 0
Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente c é igual a zero e por isto ela é chamada, também, de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:
x2 + 11x = 0 x(x + 11) = 0
x2 + 11x = 0 x = 0 ou x + 11 = 0
x2 + 11x = 0 x = 0 ou x = –11
Assim:
Equaçao do Segundo Grau
3º) Resolver em R a equação:
x2 + 4x + 4 = 16
Observemos que x2 + 4x + 4 é, na sua forma fatorada, é igual a (x + 2)2, então:
x2 + 4x + 4 = 16 passa a ser (x + 2)2 = 16
Assim:
x2 + 4x + 4 = 16 (x + 2)2 = 16
x2 + 4x + 4 = 16 x + 2 = –4 ou x + 2 = 4
x2 + 4x + 4 = 16 x = –6 ou x = 2
Assim: Equação do Segundo Grau
4º) Resolver em R a equação:
x2– 6x + 5 = 0
Observemos que x2– 6x + 5 não é um quadrado perfeito, donde se conclui que o procedimento utilizado no exemplo anterior não poderá repetido. Não poderá ser repetido a menos que façamos algumas modificações na equação, como veremos a seguir:
x2é “o quadrado do primeiro”, 6x é “duas vezes o primeiro (que é x) pelo segundo”, logo, o segundo só poderá ser o número 3 e, assim, “o quadrado do segundo será igual a 9”. Como o quadrado perfeito só aparecerá se tivermos x2 – 6x + 9, acrescentaremos aos dois membros da igualdade o número 9.
Assim:
x2 – 6x + 5 = 0 x2– 6x + 5 + 9 = 9
x2– 6x + 5 = 0 x2– 6x + 9 = 4
x2– 6x + 5 = 0 (x – 3)2 = 4
x2– 6x + 5 = 0 x – 3 = –2 ou x – 3 = 2
x2 – 6x + 5 = 0 x = 1 ou x = 5
Assim: Equação Segundo Grau
B – Fórmula de Bhaskara
Vamos resolver a equação: ax2 + bx + c = 0, que é a forma geral da equação do 2º grau.
Inicialmente multiplicamos os dois membros da igualdade por a. Teremos:
a2x2+ abx + ac
= 0
Notemos que a expressão:
Equação Segundo Grau
é um quadrado perfeito e, assim podemos acrescentar aos dois membros da igualdade o número Equação Segundo Grau.
a2x2 + abx + Equação Segundo Grau = Equação Segundo Grau
Logo:
Equação Segundo Grau
Chamando b2– 4ac de discriminante da equação do 2º grau, que será representado pela letra grega delta (delta), teremos:
Equação Segundo Grau
Dessa forma, resolvemos a equação do 2º grau com os coeficientes literais a, b e c o que nos permite estabelecer uma fórmula já nossa conhecida, chamada “fórmula de Bhaskara” a qual resolverá qualquer equação do 2º grau, bastando substituir os coeficientes pelos números na equação a resolver.
Equação Segundo Grau
Exemplo
Resolver em R a equação
5x2– 12x + 4 = 0
temos, a = 5, b = –12 e c = 4
substituindo na fórmula de Bhaskara.
Equação Segundo Grau
Observação: Se a equação não estiver na forma ax2 + bx + c = 0 deve ser preparada através das operações conhecidas tais como eliminação de denominadores, retirada de parênteses, dentre outras.
C. Discussão do Número de Soluções da Equação do 2º Grau
Quando resolvemos uma equação do 2º grau, já colocada na sua forma normal é importante observar que três casos podem surgir em relação ao cálculo do discriminante. Observe:
1º caso: > 0 A equação terá duas raízes reais e distintas.
Exemplo
Resolver em R:
Equação Segundo grau
2º caso: = 0 A equação terá duas raízes reais e iguais.
Exemplo
Resolver em R:
Equação Segundo grau
3º caso: < 0 A equação não terá raízes reais.
Exemplo
Equação Segundo grau
- Equação De 2º Grau
Equação do Segundo Grau Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo: Equação Segundo Grau onde a, b e c são números conhecidos com a 0. Exemplos: 1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5) 2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b...
- Equação Do Segundo Grau
Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo: onde a, b e c são números conhecidos com a 0. Exemplos: 1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5) 2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0) ...
- Equação Do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo: onde a, b e c são números conhecidos com a 0. Exemplos: 1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5) 2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0) 3º) 4x2– 11 = 0...
- Equação Completa Do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo: Equação Segundo Grau onde a, b e c são números conhecidos com a 0. Exemplos: 1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5) 2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e...
- Equação Do Segundo Grau
Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo: onde a, b e c são números conhecidos com a 0. Exemplos: 1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5) 2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0) ...
Matemática
Equação do segundo grau
Equação do Segundo Grau
Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo:
Equação Segundo Grau
onde a, b e c são números conhecidos com a 0.
Exemplos:
1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5)
2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0)
3º) 4x2– 11 = 0 (a = 4, b = 0 e c = –11)
A – Resolução da equação do 2º grau
Exemplos:
1º) Resolver em R a equação:
x2-16=0
Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente b é igual a zero por isto ela é chamada de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:
x2-16=0 x2=16
x2-16=0 x = –4 ou x = +4
Assim:
Equação do Segundo Grau2º) Resolver em R a equação:
x2 + 11x = 0
Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente c é igual a zero e por isto ela é chamada, também, de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:
x2 + 11x = 0 x(x + 11) = 0
x2 + 11x = 0 x = 0 ou x + 11 = 0
x2 + 11x = 0 x = 0 ou x = –11
Assim:
Equaçao do Segundo Grau
3º) Resolver em R a equação:
x2 + 4x + 4 = 16
Observemos que x2 + 4x + 4 é, na sua forma fatorada, é igual a (x + 2)2, então:
x2 + 4x + 4 = 16 passa a ser (x + 2)2 = 16
Assim:
x2 + 4x + 4 = 16 (x + 2)2 = 16
x2 + 4x + 4 = 16 x + 2 = –4 ou x + 2 = 4
x2 + 4x + 4 = 16 x = –6 ou x = 2
Assim: Equação do Segundo Grau
4º) Resolver em R a equação:
x2– 6x + 5 = 0
Observemos que x2– 6x + 5 não é um quadrado perfeito, donde se conclui que o procedimento utilizado no exemplo anterior não poderá repetido. Não poderá ser repetido a menos que façamos algumas modificações na equação, como veremos a seguir:
x2é “o quadrado do primeiro”, 6x é “duas vezes o primeiro (que é x) pelo segundo”, logo, o segundo só poderá ser o número 3 e, assim, “o quadrado do segundo será igual a 9”. Como o quadrado perfeito só aparecerá se tivermos x2 – 6x + 9, acrescentaremos aos dois membros da igualdade o número 9.
Assim:
x2 – 6x + 5 = 0 x2– 6x + 5 + 9 = 9
x2– 6x + 5 = 0 x2– 6x + 9 = 4
x2– 6x + 5 = 0 (x – 3)2 = 4
x2– 6x + 5 = 0 x – 3 = –2 ou x – 3 = 2
x2 – 6x + 5 = 0 x = 1 ou x = 5
Assim: Equação Segundo Grau
B – Fórmula de Bhaskara
Vamos resolver a equação: ax2 + bx + c = 0, que é a forma geral da equação do 2º grau.
Inicialmente multiplicamos os dois membros da igualdade por a. Teremos:
a2x2+ abx + ac
= 0Notemos que a expressão:
Equação Segundo Grau
é um quadrado perfeito e, assim podemos acrescentar aos dois membros da igualdade o número Equação Segundo Grau.
a2x2 + abx + Equação Segundo Grau = Equação Segundo Grau
Logo:
Equação Segundo Grau
Chamando b2– 4ac de discriminante da equação do 2º grau, que será representado pela letra grega delta (delta), teremos:
Equação Segundo Grau
Dessa forma, resolvemos a equação do 2º grau com os coeficientes literais a, b e c o que nos permite estabelecer uma fórmula já nossa conhecida, chamada “fórmula de Bhaskara” a qual resolverá qualquer equação do 2º grau, bastando substituir os coeficientes pelos números na equação a resolver.
Equação Segundo Grau
Exemplo
Resolver em R a equação
5x2– 12x + 4 = 0
temos, a = 5, b = –12 e c = 4
substituindo na fórmula de Bhaskara.
Equação Segundo Grau
Observação: Se a equação não estiver na forma ax2 + bx + c = 0 deve ser preparada através das operações conhecidas tais como eliminação de denominadores, retirada de parênteses, dentre outras.
C. Discussão do Número de Soluções da Equação do 2º Grau
Quando resolvemos uma equação do 2º grau, já colocada na sua forma normal é importante observar que três casos podem surgir em relação ao cálculo do discriminante. Observe:
1º caso: > 0 A equação terá duas raízes reais e distintas.
Exemplo
Resolver em R:
Equação Segundo grau
2º caso: = 0 A equação terá duas raízes reais e iguais.
Exemplo
Resolver em R:
Equação Segundo grau
3º caso: < 0 A equação não terá raízes reais.
Exemplo
Equação Segundo grau
- Equação De 2º Grau
Equação do Segundo Grau Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo: Equação Segundo Grau onde a, b e c são números conhecidos com a 0. Exemplos: 1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5) 2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b...
- Equação Do Segundo Grau
Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo: onde a, b e c são números conhecidos com a 0. Exemplos: 1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5) 2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0) ...
- Equação Do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo: onde a, b e c são números conhecidos com a 0. Exemplos: 1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5) 2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0) 3º) 4x2– 11 = 0...
- Equação Completa Do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo: Equação Segundo Grau onde a, b e c são números conhecidos com a 0. Exemplos: 1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5) 2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e...
- Equação Do Segundo Grau
Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo: onde a, b e c são números conhecidos com a 0. Exemplos: 1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5) 2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0) ...