Fique Milionário Resolvendo Problemas de Matemática

Quer ganhar 1 milhão de dólares usando apenas os neurônios? Basta resolver um dos sete maiores desafios da matemática contemporânea. O prêmio para quem solucionar cada um dos Problemas do Milênio ? como são chamadas as questões que o século XX não conseguiu destrinchar ? é oferecido pelo Instituto de Matemática Clay, organização fundada em 1998 para disseminar o estudo da matemática. Com o apoio dos melhores centros de pesquisa, como a Universidade Harvard e o Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT, na sigla em inglês), o Instituto Clay destinou à empreitada um fundo de 7 milhões de dólares ? 1 milhão para cada resposta. Se você achava que a matemática era uma ciência esotérica e que não dava dinheiro, mude seus conceitos. A solução desses sete problemas em aberto pode ter um valor ainda maior que os 7 milhões de dólares, pois a quantidade de teorias e aplicações práticas que dependem deles é enorme.

A oferta do Clay está de pé desde 24 de maio de 2000, quando os problemas foram apresentados no Collège de France, em Paris. Nesse mesmo local, em 8 de agosto de 1900 ? quase cem anos antes ?, o matemático alemão David Hilbert havia feito uma conferência no Segundo Congresso Internacional de Matemática que entrou para a história das ciências. Em sua apresentação, Hilbert expôs 23 problemas de matemática então sem resposta e afirmou que eles seriam o principal desafio dos matemáticos do século XX. De fato, foram. A maioria dos problemas de Hilbert está resolvida, embora alguns ainda atormentem as mentes matemáticas mais brilhantes do mundo.

Agora, os especialistas do Clay reduziram e renovaram a lista de Hilbert para montar um roteiro para a matemática do século XXI. E puseram uma etiqueta de 1 milhão em cada problema. Antes de conhecer os sete, porém, uma advertência: eles serão apresentados aqui de forma bastante simplificada, pois a verdade é que são, sim, bastante difíceis de entender (ou você acha que alguém daria 1 milhão de dólares por algo fácil?). E a Super não se responsabiliza por eventuais danos que possam causar ao cérebro dos leitores. Sem mais delongas, aqui estão os problemas em aberto:

Faz muito tempo que a matemática deixou de ser uma ciência que se ocupa apenas de números. Hoje, matemáticos lidam com entidades abstratas, esquisitas e imponderáveis, com nomes tão disparatados quanto funtores, matróides ou variedades multidimensionais. Mas não dá para enganar ninguém: os números estão por trás de tudo. O primeiro problema, portanto, é sobre eles. Mais especificamente, sobre os chamados números primos. Se você faltou à aula, vale a pena lembrar que números primos são aqueles que só são divisíveis por 1 e por si mesmos. O número 5, por exemplo, é primo. Já o 6 não é, pois é divisível também por 2 e por 3. O 7 é primo, o 8 não ? é divisível por 2 e 4 ? e assim por diante. A seqüência de números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e assim por diante) sempre embatucou os matemáticos, porque parece não ter a menor lógica. Comporta-se como se os primos aparecessem ao acaso. Se alguém soubesse descrever uma regra capaz de dizer quantos primos existem até um certo número, isso poderia ter conseqüências que vão da segurança de computadores até as teorias sobre a origem do Universo (veja quadro na pág. 67).

O alemão Georg Bernhard Riemmann (1826-1866) acreditava ter descoberto uma fórmula para descrever a distribuição dos primos. Essa fórmula já foi testada para o primeiro 1,5 bilhão de números e está correta. Mas isso é bem diferente de provar que ela é verdadeira para todos. As tentativas de confirmar a hipótese de Riemann já geraram uma quantidade descomunal de matemática. Os mais ousados lançaram mão até de conexões da matemática com a realidade física. Em 1972, o físico americano Freeman Dyson percebeu uma estranha coincidência entre a fórmula de Riemann para os primos e outra fórmula que os cientistas usavam para descrever alguns sistemas da física regidos pela teoria do caos (um exemplo desses sistemas caóticos é a atmosfera terrestre, em que o bater de asas de uma borboleta no Pacífico pode gerar um furacão do outro lado do globo). Essa abordagem física ainda não conseguiu provar a hipótese de Riemann, mas, se conseguir, estará provado também que a seqüência de números primos, mais que uma mera abstração matemática, é uma das leis fundamentais que regem o Universo.

P = NP

Outro problema que vale 1 milhão de dólares é dizer se a formuleta acima é verdadeira ou falsa. Parece simples? Eis a descrição do Instituto Clay: ?Suponha que você esteja organizando um evento para 400 pessoas numa universidade e que, nas instalações universitárias, só haja acomodação para 100. Para complicar as coisas, o reitor forneceu uma lista de pares de pessoas incompatíveis, que sempre brigam, e exigiu que, na escolha final, nenhum desses pares aparecesse?. Aí está um problema que mesmo os supercomputadores mais poderosos não conseguem resolver. Se você tem em mãos uma lista de 100 possíveis convidados, conseguirá constatar se ela satisfaz ou não às condições do reitor. Mas produzir tal lista do nada é uma tarefa hercúlea. Na verdade, o número de possibilidades a testar é maior que o número de átomos no universo. Esse é apenas um dos muitos problemas em ciência da computação que apresentam a mesma característica. Dada uma resposta, é possível verificar se ela é falsa ou verdadeira. Mas encontrar uma resposta a partir do zero torna-se impraticável.

Esses problemas se comportam como um quebra-cabeça: é fácil ver se ele já está montado (basta olhar!), mas muito difícil montá-lo com as pecinhas bagunçadas dentro da caixa. O mais célebre quebra-cabeça desse tipo é conhecido como problema do caixeiro viajante: se você tem um mapa de cidades com as estradas que fazem a ligação entre elas, será possível achar um caminho que passe em cada cidade apenas uma vez e volte à cidade inicial? Você pode até descobrir que um certo caminho num mapa específico satisfaz essa condição, mas tente achar um método genérico para descrever esses caminhos em todos os mapas. Ufa! A classe desses problemas intratáveis é conhecida pela sigla NP (ou, no jargão dos iniciados, são problemas polinomiais não-determinísticos), em oposição à classe dos problemas mais fáceis de resolver, chamada P (de polinomiais). O mais curioso é que, se você achar um método simples para resolver um problema de NP, ele poderá ser aplicado a todos. Em outras palavras, você terá provado a formuleta P = NP. Há mais de mil problemas intratáveis que, de uma forma ou de outra, podem ser reduzidos ao do caixeiro viajante. Quer mais um? Se você costuma gastar tempo com aquele joguinho de caça-minas, do Windows, sabe muito bem que, observando uma tela com casas abertas e fechadas, consegue intuir onde estão as minas. Pois recentemente foi provado que uma solução genérica para todos os caça-minas é um problema que pertence a NP. E vale, portanto, 1 milhão de dólares.

Talvez o francês Henri Poincaré (1854-1912) tenha sido o último matemático universal, capaz de entender toda a ciência matemática do seu tempo. Depois dele, o conhecimento se fragmentou num sem-número de especialidades e deixou de ser compreensível como um todo. Culpa, inclusive, do próprio Poincaré, que contribuiu para isso ao fundar uma dessas especialidades, chamada topologia, uma espécie de geometria das superfícies. Um dos problemas mais difíceis de resolver em topologia foi proposto por ele mesmo, Poincaré, em 1904. Trata-se do clássico problema da laranja na quarta dimensão. Calma, leitor, não esmoreça. Vamos por partes. Primeiro imagine uma forma esférica, como a dita laranja ou mesmo o planeta Terra, que enxergamos com três dimensões (comprimento, largura e profundidade). Prove que o cabinho da laranja ? ou o Pólo Norte da Terra ? pode ser ligado a qualquer ponto da superfície da fruta ou do planeta por um único meridiano. Agora demonstre que, além disso, todos esses meridianos se cruzam apenas em um único outro ponto: o Pólo Sul.

Parece simples demais? Isso já foi demonstrado para superfícies que se comportam como a casca da laranja ou do planeta Terra na terceira dimensão. Mas a topologia lida com outros tipos de casca de laranja, de n dimensões. Tais entidades, impossíveis de visualizar, são muito fáceis de representar por meio de fórmulas matemáticas (você não consegue imaginá-las porque o cérebro humano não tem essa capacidade ? pelo menos em condições normais). No entanto, até hoje a hipótese de Poincaré está provada para a superfície de esferas em todas as dimensões, exceto para a quarta. Já houve dezenas de demonstrações que depois se mostraram erradas. E essa simplória hipótese, algo cítrica, praticamente deu origem a toda a topologia, um dos ramos da matemática mais difíceis e impenetráveis, sem o qual teria sido impossível a Einstein criar a Teoria da Relatividade. E então, leitor, que tal descascar esse abacaxi, ops, essa laranja?

Já ouviu falar em mecânica dos fluidos? Trata-se de uma matéria que aparece lá pelo terceiro ano da faculdade de Engenharia e costuma reprovar tantos alunos que muita gente desiste de ser engenheiro ali mesmo. Pois o quarto problema de 1 milhão de dólares do Instituto Clay está relacionado a essa disciplina madrasta que trata, basicamente, das ondas nos lagos e das correntes de ar quando atravessadas por aviões a jato. Fluidos como gases ou líquidos são entidades físicas de compreensão extremamente difícil. As equações que tentam descrever o comportamento de objetos no meio dos fluidos, chamadas equações de Navier-Stokes (formuladas por Claude Navier e George Stokes), são conhecidas desde o século XIX. Mas até hoje ninguém conseguiu resolvê-las de modo satisfatório. O problema não está em achar as respostas, mas em saber se essas equações sempre têm alguma resposta que possa ser interpretada de modo razoável na realidade física e se as respostas que conhecemos são as únicas possíveis. Os projetistas de foguetes, que precisam garantir a reentrada das espaçonaves na atmosfera, ou de aviões supersônicos, agradecem.

Uma das maiores diversões dos matemáticos é tentar encontrar relações entre teorias que aparentemente nada têm a ver uma com a outra. A geometria, estudo de formas como círculos, triângulos ou retângulos, ganhou um novo fôlego quando René Descartes descobriu que as formas geométricas poderiam ser descritas por fórmulas ou equações da álgebra, capazes de representar os pontos em um plano, depois batizado de plano cartesiano. Desde então, o casamento da geometria com a álgebra, que gerou o cálculo, tem sido um dos mais frutíferos da matemática. Em 1950, no Congresso Internacional de Matemática, o americano William Vallance Douglas Hodge (1903-1975) fez uma apresentação que promete levar esse casamento ainda além. Hodge sugeriu que as equações capazes de descrever determinados formatos cíclicos em várias dimensões poderiam ser geradas a partir de formas geométricas mais simples, similares a curvas. Se isso soa muito complicado, não desanime. A conjectura de Hodge, se provada, trará mais gente para a família, fundindo topologia, cálculo, geometria e álgebra. Seu impacto no futuro poderá ser ainda maior que o do plano cartesiano, que todo aluno do ensino médio precisa enfrentar. (Para quem já esqueceu, o plano cartesiano compõe-se de uma reta horizontal, o eixo x, e outra vertical, o eixo y, que se cortam num ponto.) Quem sabe, daqui a 50 anos Hodge não será assunto de sala de aula e algum aluno do colegial não será capaz de levar para casa 1 milhão de dólares?

Físicos e matemáticos vivem às turras. Em geral, a física caminha mais rápido, de modo mais esculachado, e depois a matemática tem de vir lentamente atrás, mostrando em detalhes que tudo o que os físicos fizeram estava correto e tinha sentido lógico. Por isso, normalmente é a realidade da física que leva ao desenvolvimento de novas idéias matemáticas. Um exemplo: para elaborar as leis da gravitação universal, o inglês Isaac Newton foi obrigado a desenvolver toda a teoria do cálculo em seu clássico Principia Mathematica. A partir daí surgiu aquela física que todos aprendemos na escola, com seus movimentos uniformes, forças, velocidades e aceleração, a tão celebrada física clássica. No século XX, porém, a física clássica de Newton se mostrou insuficiente para descrever o mundo do infinitamente pequeno, dos átomos, dos elétrons e das demais partículas. Os físicos criaram, então, todo um arcabouço teórico que ficou conhecido como física quântica para descrever a estrutura da matéria e do Universo. Os matemáticos vieram lentamente caminhando atrás. As idéias de Hilbert ou Riemann, por exemplo, foram melhoradas para sustentar as teorias quânticas. Mas nem tudo deu certo. Até hoje há um pedaço da física quântica, descrito por Yang e Mills, que não é sustentado por nenhuma teoria matemática. Trata-se das equações que lidam com um tipo de força presente no núcleo dos átomos chamada força nuclear forte. Se alguém conseguir primeiro entender essa idéia física e, em seguida, criar uma teoria para sustentá-la, pode se preparar para levar para casa o cheque do Instituto Clay.

O último problema do milênio é um parente do Último Teorema de Fermat, aquele que levou mais de 300 anos para ser demonstrado e acabou sendo vencido pelo inglês Andrew Wiles em 1993 (a demonstração estava incompleta, mas, pouco tempo depois, Wiles conseguiu apresentar uma prova correta). O Último Teorema de Fermat diz que equações do tipo xn + yn = zn só têm soluções x, y e z se n = 2. Traduzindo: um número elevado ao quadrado pode ser igual à soma de dois quadrados, mas nenhum número ao cubo é a soma de dois cubos, nenhum número à quarta é a soma de dois números à quarta e assim por diante. De modo mais geral, foi provado, em 1970, que não existe um método para saber quando equações semelhantes às do Último Teorema de Fermat têm ou não solução (esse, aliás, era o décimo problema que Hilbert apresentou em 1900). ?Mas, em casos especiais, é possível afirmar alguma coisa?, diz Wiles em sua apresentação a esse problema do milênio. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer tenta justamente descrever alguns desses casos.

Se esse, ou algum dos outros Problemas do Milênio apresentados acima, continuará em aberto nos próximos 300 anos, ninguém sabe. Quem sabe, o prêmio acabe acelerando as coisas. Vai se arriscar?

Dizer se um número é primo ? isto é, se ele pode ser dividido por outros números além de 1 e de si mesmo ? é um problema que tem desafiado os matemáticos há milênios. O método mais conhecido para responder à pergunta, chamado crivo de Eratóstenes, foi criado pelo grego em 240 a.C. Mas ele tem uma séria deficiência: o tempo necessário para decidir se um dado número é primo cresce exponencialmente quanto maior o número. Se alguém demonstrasse um método eficiente de descobrir quais são os divisores de um dado número, conseguiria, por tabela, quebrar a maioria dos programas de segurança de computadores no mercado, que estão baseados na inexistência de tal método. Pois, em agosto, dias antes de fecharmos esta edição, três pesquisadores indianos do Instituto Indiano de Tecnologia de Kanpur, liderados por Manindra Agrawal, conseguiram quase isso. Eles descobriram um método simples e eficiente para dizer se um número é primo. O método ainda não apresenta os divisores do número e, portanto, não tem impacto sobre a segurança dos computadores. Mas a demonstração dos indianos, de nove páginas, gerou um programa de 13 linhas que pode funcionar em qualquer computador. Por isso, matemáticos e cientistas da computação estão em polvorosa por não terem enxergado algo tão simples ao longo dos últimos 2 200 anos.

Será que vem aí o primeiro milhão?

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