Matemática

Histograma

Distribuição de frequências

A distribuição de frequências é um agrupamento de dados em classes, de tal forma que contabilizamos o número de ocorrências em cada classe. O número de ocorrências de uma determinada classe recebe o nome de frequência absoluta. O objetivo é apresentar os dados de uma maneira mais concisa e que nos permita extrair informação sobre seu comportamento. A seguir, apresentamos algumas definições necessárias à construção da distribuição de frequências.

Frequência absoluta (ƒ_i): É o número de observações correspondente a cada classe. A frequência absoluta é, geralmente, chamada apenas de frequência.
Frequência relativa (ƒ_ri): É o quociente entre a frequência absoluta da classe correspondente e a soma das frequências (total observado), isto é, $\displaystyle f_{ri}=\frac{f_i}{\sum_{j}f_j}$ onde n representa o número total de observações.
Frequência percentual (p_i): É obtida multiplicando a frequência relativa por 100%.
Frequência acumulada: É o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores até a classe atual. Pode ser: frequência acumulada absoluta (F_i), frequência acumulada relativa (F_ri), ou frequência acumulada percentual (P_i).

Distribuição de frequência pontual: dados discretos

A construção de uma tabela de distribuição de frequência pontual é equivalente à construção de uma tabela simples, onde se listam os diferentes valores observados da variável com suas frequências absolutas, denotadas por (ƒ_i) (o índice i corresponde ao número de linhas da Tabela) como é mostrado na Tabela abaixo. Utilizamos a distribuição de frequência pontual quando se trabalha com dados discretos. Um gráfico utilizado para representar este tipo de distribuição de frequência é o Gráfico de Barras.

Exemplo 1.6.1: Considere os dados do Exemplo 1.3.3. Construa a distribuição de frequências para este conjunto de dados e o gráfico de barras.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Número de pessoas com diabetes	Frequência(ƒ_i)	Frequência relativa (ƒ_ri)	Frequência percentual	Frequência acumulada
7	1	0,05	5	5
8	2	0,1	10	15
9	5	0,25	25	40
10	8	0,4	40	80
11	3	0,15	15	95
12	1	0,05	5	100

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Distribuição de frequência em intervalos de classes: Dados contínuos

Para dados quantitativos contínuos, geralmente resultantes de medições de características da qualidade de peças ou produtos, dividimos a faixa de variação dos dados em intervalos de classes. O menor valor da classe é denominado limite inferior (l_i) e o maior valor da classe é denominado limite superior (L_i).

O intervalo ou classe pode ser representado das seguintes maneiras:

1. (l_i) $\vdash$ (L_i), onde o limite inferior da classe é incluído na contagem da frequência absoluta, mas o superior não;
2. (l_i) $\dashv$ (L_i) , onde o limite superior da classe é incluido na contagem, mas o inferior não.

Podemos escolher qualquer uma destas opções, mas é importante que deixemos claro no texto ou na tabela qual delas está sendo usada. Embora não seja necessário, os intervalos são frequentemente construídos de modo que todos tenham larguras iguais, o que facilita as comparações entre as classes.

Na tabela de distribuição de frequência, acrescentamos uma coluna com os pontos médios de cada intervalo de classe, denotada por x_i. Esta é definida como a média dos limites da classe $\displaystyle x_i=\frac{l_i+L_i}{2}$ . Estes valores são utilizados na construção de gráficos.

Algumas indicações na construção de distribuição de frequências são:

Na medida do possível, as classes deverão ter amplitudes iguais.
Escolher os limites dos intervalos entre duas possíveis observações.
O número de intervalos não deve ultrapassar 20.
Escolher limites que facilitem o agrupamento.
Marcar os pontos médios dos intervalos.
Ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área proporcional à frequência relativa (ou à frequência absoluta, o que dá no mesmo) correspondente.

Histograma

Histograma é uma representação gráfica (um gráfico de barras verticais ou barras horizontais) da distribuição de frequências de um conjunto de dados quantitativos contínuos. O histograma pode ser um gráfico por valores absolutos ou frequência relativa ou densidade. No caso de densidade, a frequência relativa do intervalo i, (f_ri), é representada pela área de um retângulo que é colocado acima do ponto médio da classe i. Consequentemente, a área total do histograma (igual a soma das áreas de todos os retângulos) será igual a 1. Assim, ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área proporcional à frequência relativa (ou à frequência absoluta, o que é indiferente) correspondente. No caso em que os intervalos são de tamanhos (amplitudes) iguais, as alturas dos retângulos serão iguais às frequências relativas (ou iguais às frequências absolutas) dos intervalos correspondentes.

Exemplo 1.6.2: Considerando os dados do Exemplo 1.3.4, monte a distribuição de frequências e construa o histograma correspondente.

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Como temos dados quantitativos contínuos, para construir a distribuição de frequências, vamos separar os dados em classes. Dividimos os dados em 8 classes de tamanhos iguais. A distribuição de frequências então é a seguinte

Classe	Frequência	Freq. Relativa	Porcentagem	Porc. Acumulada	Densidades	Ponto médio
[4,2;4,4)	12	0,06	6	6	0,3	4,3
[4,4;4,6)	16	0,08	8	14	0,4	4,5
[4,6;4,8)	31	0,15	15,5	29,5	0,775	4,7
[4,8;5,0)	66	0,33	33	62,5	1,65	4,9
[5,0;5,2)	35	0,17	17,5	80	0,875	5,1
[5,2;5,4)	25	0,12	12,5	92,5	0,625	5,3
[5,4;5,6)	11	0,06	5,5	98	0,275	5,5
[5,6;5,8)	4	0,02	2	100	0,099	5,7

E então, construímos o histograma correspondente. Podemos utilizar o software Action para resolver este problema.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 1.6.3: Considerando os dados do Exemplo 1.3.4, construa o histograma de densidades correspondente

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para construir o histograma de densidades, basta que os retângulos tenham altura do tamanho da densidade de cada classe e largura do tamanho da classe. Neste caso, o histograma ficaria da seguinte forma:

fonte:www.portalaction.com.br

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