Limites

     Consideremos a função real, de variável real, definida por .
     Observando o gráfico da função, que esboçámos ao lado, conclui-se que:
        Não existe .
        A toda a sucessão de valores de x tendente para 2, sendo todos esses valores inferiores a 2, corresponde uma sucessão de valores de y tendente para 1. Diz-se neste caso que o limite de y à esquerda de 2 é 1 e escreve-se .
        A toda a sucessão de valores de x tendente para 2, por valores superiores a 2, corresponde uma sucessão de valores de y tendente para 3. Diz-se então que o limite de y à direita de 2 é 3 e escreve-se .
     Seja f uma função real, de variável real, e a um ponto de acumulação do seu domínio.
Diz-se que bé o limite de f(x) à esquerda de ae escreve-se  ou  sse a toda a sucessão de valores de x tendente para a(sendo todos esses valores menores do que a) corresponde uma sucessão de valores da função tendente para b.

Diz-se que bé o limite de f(x) à direita de ae escreve-se  ou  sse a toda a sucessão de valores de x tendente para a(sendo todos esses valores maiores do que a) corresponde uma sucessão de valores da função tendente para b.

Propriedades:

  1.Se o limite de uma função f(x) quando x tende para aé b, então os limites à direita e à esquerda de atambém são iguais a b.

     
       Seja a função afim definida por  cujo gráfico apresentamos.
       Como  então, .
  2.Se o limite de f(x) à direita de aé igual ao limite de f(x) à esquerda de ae o valor comum desses limites é b, então o limite de f(x) quando x tende para aé igual a b.

    
       Seja a função g definida por .
       O número 1 é ponto de acumulação do D_g, embora
       Suponhamos que  tende para 1 por valores
                            Superiores a 1,  então, ;
                            Inferiores a 1,  e
       Portanto, como  
  3.Se a função f está definida apenas à direita (ou à esquerda) de aentão o valor do limite de f(x) quando x tende para acoincide com o limite à direita (ou à esquerda) de a.

    
       Consideremos a função definida por  de domínio
       O número 2 é ponto de acumulação de D_f , mas não existe  pois não é possível considerar sucessões cujos termos pertençam ao D_f tendentes para 2 por valores inferiores a 2. Mas existe o limite de f(x) à direita de 2, visto que, considerada uma qualquer sucessão  de valores de x pertencentes ao D_ftendente para 2 por valores superiores a 2, tem-se  e, portanto,  e

 fonte:www.educ.fc.ul.pt