Logica
Matemática

Logica





Conectivos e valores lógicos
Conectivos:(Termos usados para formar novas proposições a partir de outras existentes.)
"e", "ou", "não", "se... então... ", "se e somente se ..."
Valores lógicos das proposições:Verdade (V) e Falsidade (F).

Tabelas verdade
A Tabela verdade é um instrumento usado para determinar os valores lógicos das proposições compostas, a partir de atribuições de todos os possíveis valores lógicos das proposições simples componentes.
A primeira das tabelas abaixo apresenta duas proposições simples: p e q e a segunda, três proposições simples: p, q e r. As células de ambas as tabelas são preenchidas com valores lógicos V e F, de modo a esgotar todas as possíveis combinações. O número de linhas da tabela pode ser previsto efetuando o cálculo: 2 elevado ao número de proposições simples. Nos exemplos abaixo tem-se 22 = 4 linhas e 23 = 8 linhas.
pq
VV
VF
FV
FF
pqr
VVV
VVF
VFV
VFF
FVV
FVF
FFV
FFF

Valor lógico da proposição
Notação: O valor lógico de uma proposição simples indica-se por V(p) e composta por V(P) (letra maiúscula).
Exemplos de proposições simples:p : um triângulo têm três lados.
q : Blumenau é um país.
V(p) = V   V(q) = F   (Lê-se valor lógico de p é igual a V (verdadeiro) e de q é igual a F (falso))

Exemplo de proposição composta:p : o sol é uma estrela ou
q : a terra é uma estrela.
P(p,q) = p v q     V(P) = V     (O símbolo "v" representa o conectivo "ou" visto abaixo)

Operações lógicas
Os valores lógicos das proposições são definidos pelas tabelas descritas em cada operação a seguir.
Negação (~)   "~p"   lê-se "não p".
Exemplo:
p : Joana é bonita
~p : Joana não é bonita
ou  ~p : Não é verdade que Joana é bonita
ou  ~p : É falso que Joana é bonita
p~p
VF
FV
Conjunção (^)     "p ^ q"   lê-se "p e q".
Exemplo:
p : A neve é branca  (V)
q : 2 < 5  (V)
p ^ q : A neve é branca e 2 < 5  (V)
Representação:
V(p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V
Leitura:
pqp ^ q
VVV
VFF
FVF
FFF
Valor lógico de (p e q) é igual a ou, de outro modo, valor lógico de (p) e valor lógico de(q) é igual a ou resulta em verdade e verdade que é igual a verdade.
Disjunção (v)    "p v q"   lê-se "p ou q".
Exemplo:
p : Blumenau é a capital de SC   (F)
q : 5/7 é uma fração própria   (V)
p v q : Blumenau é a capital de SC ou 5/7 é uma            fração própria (V)
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V
pqp v q
VVV
VFV
FVV
FFF
Disjunção exclusiva (v)    "p v q"   lê-se "ou p ou q", mas não ambos ou ainda "ou exclusivo".
pqp v q
VVF
VFV
FVV
FFF
O valor lógico é Falso(F)
quando p e q são ambas
verdadeiras ou ambas falsas.
Exemplo:
P : Carlos é médico ou professor
Q : Antônio é catarinense ou gaúcho.
Na proposição composta P pelo menos uma das proposições simples é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras. ("ou" inclusivo).
Na proposição composta Q apenas uma das proposições é verdadeira. ("ou" exclusivo).
Condicional (—>)   "p —> q"   lê-se "se p então q" ("—>" símbolo de implicação).
pqp —> q
VVV
VFF
FVV
FFV
O valor lógico é Falso(F) no caso
em que p é verdadeira e q é falsa.
Exemplo:
p : A terra é uma estrela   (F)
q : O ano tem nove meses (F)
p —> q : Se a terra é uma estrela, então o ano  tem nove meses  (V)
V(p —> q) = V(p) —> V(q) = F —> F = V
Bicondicional (<—>)    "p <—> q"   lê-se "p se e somente se q".
pqp <–> q
VVV
VFF
FVF
FFV
Uma bicondicional é verdadeira somente quando ambas proposições são verdadeiras ou ambas falsas.
(p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p).
Exemplo:
p : A terra é plana   (F)
q : 10 é um número primo (F)
p <—> q : A terra é plana se e somente se 10 for um  número primo  (V)
V(p <—> q) = V(p) <—>  V(q) = F <—>  F = V

Construção de tabelas verdade
a) Construir a tabela verdade da seguinte proposição: P(p,q) = ~(p ^ ~q).
     Solução:
pq~qp ^ ~q~(p ^ ~q)
VVFFV
VFVVF
FVFFV
FFVFV
Procedimento:
Para determinar os valores lógicos de uma proposição composta, deve-se antes relacionar em colunas as proposições simples envolvidas e dar a elas todos os valores lógicos combinados, podendo seguir a ordem na qual se começa estabelecendo na primeira linha o valor lógico Verdade para todas as variáveis, na segunda linha repete-se os valores, exceto para coluna mais a direita que recebe o valor lógico F e, assim, seguir alternando os valores até especificar na última linha o valor F para todas as proposições simples.
No exemplo acima, inicialmente, foram colunadas as proposições simples p e q e determinados todos os valores lógicos. Em seguida, foi criada a próxima coluna ~q e definidos seus valores, aplicando a operação de negação ou inversão com base nos valores da coluna q. O passo seguinte foi abrir a coluna p ^ ~q e determinar seus valores, efetuando a operação de conjunção considerando os valores das colunas p e ~q. No próximo e último passo criou-se a coluna 
~(p ^ ~q) e estabelecidos seus valores, negando ou invertendo o conteúdo da coluna anterior.
Formas de indicar o resultado da proposição composta da tabela acima:
P(VV) = V,   P(VF) = F,   P(FV) = V,   P(FF) = V    ou    P(VV, VF, FV, FF) = VFVV
b) Construir a tabela verdade da proposição: P(p,q,r) = p v ~r —> q ^ ~r.
     Solução:
pqr~rp v ~rq ^ ~rp v ~r —> q ^ ~r
VVVVVFF
VVFVVVV
VFVFVFF
VFFVVFF
FVVFFFV
FVFVVVV
FFVFFFV
FFFVVFF
A tabela verdade desenvolvida acima precisou de oito linhas (23) para dispor todos seus valores lógicos, uma vez que a proposição composta envolve tres proposições simples: p, q e r.
Ordem de precedência dos conectivos:
A precedência é o critério que especifica a ordem de avaliação dos conectivos ou operadores lógicos de uma expressão qualquer. A lógica matemática prioriza as operações de acordo com a ordem listadas abaixo.
1)  ~      2) ^ e v     3) —>      4) <—>.
Parênteses podem ser utilizados para determinar uma forma específica de avaliação de uma proposição.
A proposição  p —> q <—> s ^ r, por exemplo, é bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numa condicional deve-se usar parênteses: p —> (q <—> s ^ r).

Tautologia, contradição e contingência
Tautologia - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a letra V(verdade).  Exemplo:  p v ~(p ^ q).

Contradição - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a letra F(falsidade).  Exemplo:  (p ^ q) ^ ~(p v q).

Contingência - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez.  Exemplo: p v q —> p.

Equivalência
Uma proposição P(p, q, r, ...) é equivalente a uma proposição Q(p, q, r, ...) se as tabelas verdade dessas duas proposições são idênticas.
Notação:   P(p, q, r, ...) <==> Q(p, q, r, ...).
Exemplo: A condicional "p —> q" e a disjunção "~p v q" são equivalentes como expõe sua tabela verdade:
pqp —> q~p~p v q
VVVFV
VFFFF
FVVVV
FFVVV
Equivalência:  p—> q <==> ~p v q

Proposições associadas a uma condicional
Proposição recíproca dep —> q    :    q —> p
Proposição contrária dep —> q    :    ~p —> ~q
Proposição contrapositiva dep —> q    :    ~q —> ~p

pqp —> qq —> p~p —> ~q~q —> ~p
VVVVVV
VFFVVF
FVVFFV
FFVVVV

Equivalências:  p —> q <==> ~q —> ~p    e    q —> p <==> ~p —> ~q
A condicional (p —> q) é equivalente a sua contrapositiva (~q —> ~p) e a recíproca da condicional (q —> p) é equivalente à contrária da condicional (~p —> ~q).

Recíproca da condicional
Exemplo:
p —> q  :  Se triângulo é eqüilátero, então é isósceles.
A recíproca da condicional é
q —> p  :  Se triângulo é isósceles, então é eqüilátero.

(A condicional p —> q é verdadeira (V), mas sua recíproca q –> p  é falsa (F)).

Contrapositiva da condicional
Exemplos:
p —> q  :  Se Carlos é professor, então é pobre.
A contrapositiva é
~q —> ~p  :  Se Carlos não é pobre, então não é  professor.
Portanto, (p —> q  <==>  ~q —> ~p) (Proposições equivalentes).

p  :  x é menor que zero
q  :  x é negativo
q —> p  :  Se x é negativo,então x é menor que zero.
A contrapositiva é
~p —> ~q :  Se x não é menor que zero, então x não é negativo.
Portanto, (q —> p  <==>  ~p —> ~q) (Proposições equivalentes).

Forma normal das proposições
Uma proposição está na forma normal (FN) quando contém apenas os conectivos ~, ^ e v.
Toda proposição pode ser levada para a forma normal equivalente pela eliminação dos conectivos—> e <—>.
Exemplos:
p —> q   =  ~p v q
p <—> q   =  (~p v q) ^ (p v ~q)
Pode-se comprovar esta afirmação de igualdade acima construindo as respectivas tabelas verdade.

Exercícios
(Para obter as respostas posicione o cursor sobre a letra da expressão)

1.  Sejam as proposições:
p : Está frio  e  q : Está chovendo.
Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:
a)  ~p                b)  p ^ q               c)  p v q
d)  q <—> p       e)  p —> ~q          f)  p v ~q
g)  ~p ^ ~q       h)  p ^ ~q —> p

2.  A partir das proposições p : Antônio é rico e q : José é feliz, traduzir para a linguagem corrente as proposições a seguir:
a)  q —> p          b)  p v ~q               c) q <—> ~p
d)  ~p —> q       e)  ~~p                   f)  p ^ q

3.  Sejam as proposições:
p : Carlos fala francês,  q : Carlos fala inglês  e
r : Carlos fala alemão.
Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a)  Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão
b)  Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão
c)  É falso que Carlos fala francês mas não que fala alemão
d)  É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas não que fala francês

4.  A partir das proposições p : Maria é rica e q : Maria é feliz, traduzir para a linguagem simbólica as proposições:
a)  Maria é pobre, mas feliz
b)  Maria é rica ou infeliz
c)  Maria é pobre e infeliz
d)  Maria é pobre ou rica, mas é infeliz

5.  Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:
a) ~(p v ~q)                    b)  p ^ q —> p v q
c)  ~p ^ r —> q v ~r        d)  (p ^ ~q) v r

6.  Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V,
determinar o valor lógico da proposição:
(p ^ (~q —> p)) ^ ~((p v ~q) —> q v ~p)
(Para obter a resposta posicione o cursor sobre o número da questão)
7.  Mostrar que a seguinte proposição é tautológica: p ^ r —> q v r
8.  Mostrar que a seguinte proposição é contradição: (p ^ q) ^ ~(p v q)

Bibliografia
  • ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. 18 ed. São Paulo : Nobel, 2000.202p.
  • FÁVARO, Silvio; KMETEUK FILHO, Osmir. Noções de lógica e matemática básica. São Paulo : Ciência Moderna, 2005. 224p.
Eletrônica:
  • http://www.angelfire.com/bc/fontini/logica.html
  • http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica#listapref




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