Matemática
O quadrado da soma e o quadrado da diferença são expressões algébricas que se enquadram nas condições de produtos notáveis, pois podem ser resolvidas através de generalizações lógicas.
Quadrado da soma (a + b)²
“O primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”
(x + 5)² = (x)² + 2*x*5 + (5)² = x² + 10x + 25
(2x + 4)² = (2x)² + 2*2x*4 + (4)² = 4x² + 16x + 16
(5x + 9)² = (5x)² + 2*5x*9 + (9)² = 25x² + 90x + 81
(6x + 2/3)² = (5x)² + 2*6x*2/3 + (2/3)² = 25x² + 8x + 4/9
(10x² + 12) = (10x²)² + 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 + 240x + 144
(x³ + 2x)² = (x³)² + 2*x³*2x + (2x)² = x6 + 4x4 + 4x²
(13x + 20)² = (13x)² + 2*13x*20 + (20)² = 169x² + 520x + 400
Quadrado da diferença (a – b)²
“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”
(x – 6)² = (x)² – 2*x*6 + (6)² = x² – 12x +36
(5x – 8)² = (5x)² – 2*5x*8 + (8)² = 25x² – 80x + 64
(9x – 7)² = (9x)² – 2*9x*7 + (7)² = 81x² – 126x + 49
(6x² – 4/6)² = (6x²)² – 2*6x²*4/6 + (4/6)² = 36x4 – 8x² + 16/36 = 36x4 – 8x² + 4/9
(10x² – 12) = (10x²)² – 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 – 240x + 144
(x4 – 2x²)² = (x4)² – 2*x4*2x² + (2x²)² = x8 – 4x6 + 4x4
(11x – 6z)² = (11x)² – 2*11x*6z + (6z)² = 121x² – 132xz + 36z²
Cubo da Soma (a + b)³
(2x + 3)³
1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 3 = 36x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (3)² = 54x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (3)³ = 27
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ + 36x² + 54x + 27
Exemplos
(4x + 3)³
1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 3 = 144x²
3º passo: 3 * 4x * (3)² = 108x
4º passo: (3)³ = 27
5º passo: 64x³ + 144x² + 108x + 27
(2x + 3z)³
1º passo: (2x)³ = 8x³
2º passo: 3 * (2x)² * 3z = 36x²z
3º passo: 3 * 2x * (2z)² = 24xz²
4º passo: (3z)³ = 27z³
5º passo: 8x³ + 36x²z + 24xz² + 27z³
(5x + 7z)³
1º passo: (5x)³ = 125x³
2º passo: 3 * (5x)² * 7z = 525x²z
3º passo: 3 * 5x * (7z)² = 735xz²
4º passo: (7z)³ = 343z³
5º passo: 125x³ + 525x²z + 735xz² + 343z³
Cubo da Diferença (a – b)³
(2x – 4)³
1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 4 = 48x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (4)² = 96x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (4)³ = 64
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ – 48x² + 96x – 64
Exemplos
(4x – 2)³
1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 2 = 96x²
3º passo: 3 * 4x * (2)² = 48x
4º passo: (2)³ = 8
5º passo: 64x³ – 96x² + 48x – 8
(3x – 2z)³
1º passo: (3x)³ = 27x³
2º passo: 3 * (3x)² * 2z = 54x²z
3º passo: 3 * 3x * (2z)² = 36xz²
4º passo: (2z)³ = 8z³
5º passo: 27x³ – 54x²z + 36xz² – 8z³
(7x – 5z)³
1º passo: (7x)³ = 343x³
2º passo: 3 * (7x)² * 5z = 735x²z
3º passo: 3 * 7x * (5z)² = 525xz²
4º passo: (5z)³ = 125z³
5º passo: 343x³ – 735x²z + 525xz² – 125z³
Diferença entre dois quadrados de números consecutivos
Uma situação interessante surge ao tentarmos resolver a subtração de potências de números consecutivos, observe a resolução pelo modo convencional:
101² – 100² = 10201 – 10000 = 201
Agora veja a resolução de um modo muito curioso.
Para resolver tal situação, basta fazer a simples operação:
101 + 100 = 201
Tal situação acontece pelo seguinte fato:
Considere dois números consecutivos x e y, tal que x < y, então y – x = 1. Dessa forma y² – x² = (y – x)(y + x) = 1 * (y + x) = y + x , portanto:
y² – x² = y + x
Exemplos
a) 30² – 29² = 900 – 841 = 59 ou 30 + 29 = 59
b) 1000² – 999² = 1 000 000 – 998 001 = 1999 ou 1000 + 999 = 1999
c) 521² – 520² = 271 441 – 270 400 = 1041 ou 521 + 520 = 1041
d) 5201² – 5200² = 27 050 401 – 27 040 000 = 10 401 ou 5201 + 5200 = 10 401
Soma entre dois quadrados de números consecutivos
Para a soma entre dois quadrados de números consecutivos também temos uma regra bem interessante, observe:
101² + 100² = 10 201 + 10 000 = 20 201
Podemos optar pela seguinte situação:
101 * 100 = 10 100
10 100 * 2 = 20 200
20 200 + 1 = 20 201
Dessa forma temos que:
y² + x² = y * x * 2 + 1
Exemplos
a) 15² + 14² = 225 + 196 = 421 ou 15*14*2 + 1 = 421
b) 200² + 199² = 40 000 + 39 601 = 79 601 ou 200*199*2 + 1 = 79601
c) 1500² + 1499² = 2 250 000 + 2 247 001 = 4 497 001 ou 1500*1499*2 + 1 = 4 497 001
d) 70² + 69² = 4900 + 4761 = 9661 ou 70*69*2 + 1 = 9661
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- Produtos Notaveis
Cubo da Diferença (a – b)³ (2x – 4)³ 1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³ 2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 4 = 48x² 3º passo:...
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Matemática
Produtos notáveis
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email [email protected]
www.ensinodematemtica.blogspot.com.br
www.accbarrosogestar.blogspot.com.br
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Quadrado da soma (a + b)²
“O primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”
(x + 5)² = (x)² + 2*x*5 + (5)² = x² + 10x + 25
(2x + 4)² = (2x)² + 2*2x*4 + (4)² = 4x² + 16x + 16
(5x + 9)² = (5x)² + 2*5x*9 + (9)² = 25x² + 90x + 81
(6x + 2/3)² = (5x)² + 2*6x*2/3 + (2/3)² = 25x² + 8x + 4/9
(10x² + 12) = (10x²)² + 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 + 240x + 144
(x³ + 2x)² = (x³)² + 2*x³*2x + (2x)² = x6 + 4x4 + 4x²
(13x + 20)² = (13x)² + 2*13x*20 + (20)² = 169x² + 520x + 400
Quadrado da diferença (a – b)²
“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”
(x – 6)² = (x)² – 2*x*6 + (6)² = x² – 12x +36
(5x – 8)² = (5x)² – 2*5x*8 + (8)² = 25x² – 80x + 64
(9x – 7)² = (9x)² – 2*9x*7 + (7)² = 81x² – 126x + 49
(6x² – 4/6)² = (6x²)² – 2*6x²*4/6 + (4/6)² = 36x4 – 8x² + 16/36 = 36x4 – 8x² + 4/9
(10x² – 12) = (10x²)² – 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 – 240x + 144
(x4 – 2x²)² = (x4)² – 2*x4*2x² + (2x²)² = x8 – 4x6 + 4x4
(11x – 6z)² = (11x)² – 2*11x*6z + (6z)² = 121x² – 132xz + 36z²
Cubo da Soma (a + b)³
(2x + 3)³
1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 3 = 36x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (3)² = 54x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (3)³ = 27
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ + 36x² + 54x + 27
Exemplos
(4x + 3)³
1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 3 = 144x²
3º passo: 3 * 4x * (3)² = 108x
4º passo: (3)³ = 27
5º passo: 64x³ + 144x² + 108x + 27
(2x + 3z)³
1º passo: (2x)³ = 8x³
2º passo: 3 * (2x)² * 3z = 36x²z
3º passo: 3 * 2x * (2z)² = 24xz²
4º passo: (3z)³ = 27z³
5º passo: 8x³ + 36x²z + 24xz² + 27z³
(5x + 7z)³
1º passo: (5x)³ = 125x³
2º passo: 3 * (5x)² * 7z = 525x²z
3º passo: 3 * 5x * (7z)² = 735xz²
4º passo: (7z)³ = 343z³
5º passo: 125x³ + 525x²z + 735xz² + 343z³
Cubo da Diferença (a – b)³
(2x – 4)³
1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 4 = 48x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (4)² = 96x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (4)³ = 64
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ – 48x² + 96x – 64
Exemplos
(4x – 2)³
1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 2 = 96x²
3º passo: 3 * 4x * (2)² = 48x
4º passo: (2)³ = 8
5º passo: 64x³ – 96x² + 48x – 8
(3x – 2z)³
1º passo: (3x)³ = 27x³
2º passo: 3 * (3x)² * 2z = 54x²z
3º passo: 3 * 3x * (2z)² = 36xz²
4º passo: (2z)³ = 8z³
5º passo: 27x³ – 54x²z + 36xz² – 8z³
(7x – 5z)³
1º passo: (7x)³ = 343x³
2º passo: 3 * (7x)² * 5z = 735x²z
3º passo: 3 * 7x * (5z)² = 525xz²
4º passo: (5z)³ = 125z³
5º passo: 343x³ – 735x²z + 525xz² – 125z³
Diferença entre dois quadrados de números consecutivos
Uma situação interessante surge ao tentarmos resolver a subtração de potências de números consecutivos, observe a resolução pelo modo convencional:
101² – 100² = 10201 – 10000 = 201
Agora veja a resolução de um modo muito curioso.
Para resolver tal situação, basta fazer a simples operação:
101 + 100 = 201
Tal situação acontece pelo seguinte fato:
Considere dois números consecutivos x e y, tal que x < y, então y – x = 1. Dessa forma y² – x² = (y – x)(y + x) = 1 * (y + x) = y + x , portanto:
y² – x² = y + x
Exemplos
a) 30² – 29² = 900 – 841 = 59 ou 30 + 29 = 59
b) 1000² – 999² = 1 000 000 – 998 001 = 1999 ou 1000 + 999 = 1999
c) 521² – 520² = 271 441 – 270 400 = 1041 ou 521 + 520 = 1041
d) 5201² – 5200² = 27 050 401 – 27 040 000 = 10 401 ou 5201 + 5200 = 10 401
Soma entre dois quadrados de números consecutivos
Para a soma entre dois quadrados de números consecutivos também temos uma regra bem interessante, observe:
101² + 100² = 10 201 + 10 000 = 20 201
Podemos optar pela seguinte situação:
101 * 100 = 10 100
10 100 * 2 = 20 200
20 200 + 1 = 20 201
Dessa forma temos que:
y² + x² = y * x * 2 + 1
Exemplos
a) 15² + 14² = 225 + 196 = 421 ou 15*14*2 + 1 = 421
b) 200² + 199² = 40 000 + 39 601 = 79 601 ou 200*199*2 + 1 = 79601
c) 1500² + 1499² = 2 250 000 + 2 247 001 = 4 497 001 ou 1500*1499*2 + 1 = 4 497 001
d) 70² + 69² = 4900 + 4761 = 9661 ou 70*69*2 + 1 = 9661
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Cubo da Diferença (a – b)³ (2x – 4)³ 1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³ 2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 4 = 48x² 3º passo:...
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As expressões algébricas possuem um processo prático na resolução e dispensam o uso da propriedade distributiva no desenvolvimento. Nesses casos a distribuição gera cálculos excessivos e a probabilidade de erros se torna aparente. A utilização...
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O cubo da diferença se assemelha ao desenvolvimento do cubo da soma, devemos ter cuidado na questão dos sinais do polinômio formado pelo desenvolvimento da expressão. A seguir demonstraremos algumas situações aplicando a forma de resolução através...
- Produtos Notaveis
Cubo da Soma (a + b)³ (2x + 3)³ 1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³ 2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 3 = 36x² 3º passo: realizar...
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A álgebra consiste em um dos estudos mais antigos e abrangentes da Matemática, a busca pela solução de situações problemas envolvendo valores desconhecidos data dos séculos anteriores ao nascimento de Cristo. Diofante é considerado o pai da álgebra,...