Prova da IMO de 2012
Pessoal, ontem foi postada no site oficial a prova da IMO 2012. Nesse post, irei enunciar os problemas. Quem tiver alguma resolução para os problemas, me mande para [email protected]. Resolverei todos os problemas possíveis em breve.
IMO 2012
Primeiro Dia
1 - Dado um triângulo ABC, o ponto J é o centro da circunferência ex-inscrita oposta ao vértice A. Esta circunferência ex-inscrita é tangente ao lado BC em M, e às retas AB e AC em K e L, respectivamente. As retas LM e BJ intersectam-se em F, e as retas KM e CJ intersectam-se em G. Seja S o ponto de interseção das retas AF e BC, e seja T o ponto de interseção das retas AG e BC.
Prove que M é o ponto médio de ST.
(A circunferência ex-inscrita de ABC oposta ao vértice A é a circunferência tangente ao segmento BC, ao prolongamento do segmento AB no sentido de A para B e ao prolongamento do segmento AC no sentido de A para C.)
2 - Seja 
um inteiro e sejam 
números reais positivos tais que seu produto é 1. Prove que
3 - O desafio do mentiroso é um jogo para dois jogadores A e B. As regras do jogo dependem de dois inteiros positivos k e n conhecidos por ambos os jogadores. No início do jogo, o jogador A escolhe inteiros x e N com 
. O jogador A mantém x em segredo, e diz a B o verdadeiro valor de N. Em seguida, o jogador B tenta obter informação acerca de x fazendo perguntas a A da seguinte maneira: em cada pergunta, B especifica um conjunto arbitrário S de inteiros positivos (que pode ser um dos especificados em alguma pergunta anterior), e pergunta a A se x pertence a S. O jogador B pode fazer tantas perguntas desse tipo como deseje. Depois de cada pergunta, o jogador A deve responder imediatamente com sim ou não, mas pode mentir tantas vezes como queira. A única restrição é que dadas quaisquer k+1 respostas consecutivas, pelo menos uma deve ser verdadeira. Quando B tenha feito tantas perguntas como pretenda, deve especificar um conjunto X com no máximo n inteiros positivos. Se x pertencer a X então ganha B; caso contrário, B perde. Prove que:
1. Se 
então B pode garantir a sua vitória.
2. Para todo k suficientemente grande, existe um inteiro 
tal que B não pode garantir
a sua vitória.
Segundo Dia
4 ?Determine todas as funções f nos inteiros tomando valores inteiros tais que, para todos os inteiros a, b, c que satisfazem a + b + c = 0, a seguinte igualdade é verdadeira:
5 - Seja ABC um triângulo tal que BCA = 90º, e seja D o pé da altura relativa a C. Seja X um ponto no interior do segmento CD. Seja K o ponto do segmento AX tal que BK = BC. Analogamente, seja L o ponto do segmento BX tal que AL = AC. Seja M o ponto de interseção de AL com BK.
Prove que MK = ML.
6 - Determine todos os inteiros positivos n para os quais existem inteiros não negativos 
tais que
Por enquanto é só. Até mais.
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