Questão 48 ? Processo de Promoção ? QM ? Professor de Matemática ? SEE/SP ? 2.015
Matemática

Questão 48 ? Processo de Promoção ? QM ? Professor de Matemática ? SEE/SP ? 2.015


Os autores do volume 1 da coleção A Matemática do Ensino Médio fazem no capítulo 4 importantes reflexões a respeito da incomensurabilidade de segmentos de reta e dos números reais. Analise as afirmações que seguem.

I. A existência de segmentos incomensuráveis significa que os números racionais são insuficientes para medir todos os segmentos de reta.
II. Dois segmentos de reta cujas medidas são 3?2 e 5?2 unidades são incomensuráveis entre si.
III. O conjunto dos números reais é um corpo ordenado completo e o conjunto dos números racionais é também um corpo ordenado, mas não completo.
IV. O conjunto dos números racionais é enumerável, mas o conjunto dos reais não é.

Dessas afirmações são verdadeiras apenas

(A)  I, II e III.
(B)  I, III e IV.
(C) I e II.
(D) II e III.
(E)  II e IV.

Solução: (C)

I. A existência de segmentos incomensuráveis significa que os números racionais são insuficientes para medir todos os segmentos de reta ? Verdadeiro.

Partindo desse fato os matemáticos ampliaram o conceito de número e incluíram o conjunto dos números irracionais. A união do conjunto dos números comensuráveis (os racionais) com o conjunto dos números incomensuráveis (os irracionais) forma o conjunto dos números reais.

II. Dois segmentos de reta cujas medidas são 3?2 e 5?2 unidades são incomensuráveis entre si ? Falso.

Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso, w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse caso:

AB/CD = m·w/n·w = m/n

Então: 5·?2/3·?2 = 5/3, onde w = ?2.

De maneira bem resumida duas medidas são comensuráveis se a razão entre eles for um número racional, então, 3?2/5?2 = 3/5 e 5?2/3?2 = 5/3, logo são segmentos de reta comensuráveis.

III. O conjunto dos números reais é um corpo ordenado completo e o conjunto dos números racionais é também um corpo ordenado, mas não completo ? Verdadeiro.

O corpo é o conjunto numérico que está definido em duas operações: adição (+) e multiplicação (·); e cumprem certas condições referentes as estas operações: associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso, distributiva.

O corpo ordenado além de estar definido como corpo, está definido com relações de ordem (com os operadores: <; >; ?; ?) e cumprem certas condições referentes as estas operações: transitividade, tricotomia, monotonicidade na adição, monotonicidade da multiplicação. O corpo ordenado define também o conceito de valor absoluto ou módulo.

Estes dois conceitos permitem concluir o que o conjunto Q (dos números racionais) e o conjunto R (dos números reais) são corpos ordenados e sabemos que Q é um subconjunto de R.

O conjunto R corpo ordenado completo por não apresentar as lacunas que o conjunto Q apresenta. Por exemplo, para quais valores de x da função f(x) = x², obtemos f(x) = 2, sendo a função f(x) definida no conjunto Q.

No conjunto Q não temos o valor ?2, logo temos uma lacuna, não só neste valor mas para qualquer valor irracional que ocorra nesta função. Entretanto no conjunto R temos, pois nele está contido o conjunto I (dos números irracionais).

IV. O conjunto dos números racionais é enumerável, mas o conjunto dos reais não é ? Verdadeiro.

Os conjuntos enumeráveis são aqueles cujos elementos podem ser contados, desde que nunca paremos a contagem: ?este aqui é o primeiro elemento de X, este é o segundo, etc , ..., este aqui é o n-ésimo elemento de F, ...? até infinito.

Por exemplo, o conjunto Z (dos números inteiros) é enumerável, assim como é o conjunto N (dos números naturais), e assim como também é ? o que é crucial para nós ? o conjunto Q (dos números racionais).

Mas existem conjuntos infinitos que possuem tantos elementos que ? ao contrário do que ocorrem com os enumeráveis ? eles sequer podem ser ?contados infinitamente?. Estes conjuntos são os não-enumeráveis. O conjunto I (dos números irracionais) é não-enumerável.

Como o conjuntos R (dos números reais) é formado pela união do conjunto Q com o conjunto I então o conjunto R é não-enumerável.


Referência:

LIMA, Elon Lages. Análise Real: Funções de uma variável. Vol. 1. Coleção Matemática Universitária. IMPA: Rio de Janeiro, 2.006.

MOREIRA, Pedro Chaves Meurer. ABDENUR, Flavio. CRAIZER, Marcos. Os Irracionais têm Medida Total. (link)

DOERING, Claus I. Introdução à Análise Matemática na Reta. Instituto de Matemática (UFRS). 1° Colóquio de Matemática da Região Sul. UFSM: Santa Maria, 2.010. (link)


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