Matemática
O objetivo é apresentar as principais técnicas utilizadas na racionalização de denominadores de frações irracionais, uma vez que não é possível estabelecer uma regra geral face à infinidade de formas que esses denominadores podem assumir.
Para que o entendimento seja mais efetivo é imprescindível o conhecimento das propriedades de Radiciação e Potenciação, dentre outros conceitos que serão apresentados mas não demonstrados, por fugirem ao escopo da matéria.
O assunto está sendo tratado em decorrência do resultado da pesquisa feita no Blog, em que obteve a segunda colocação entre os temas propostos (11 votos). Maiores detalhes podem ser obtidos através do link Consultar Pesquisas na barra lateral de navegação.
FRAÇÕES IRRACIONAIS
Definição
Fração irracional é a que tem pelo menos um termo, o numerador ou o denominador, irracional ou sob radical.
Exemplos:
Exemplos de Frações Irracionais
RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES DE FRAÇÕES IRRACIONAIS
As técnicas a serem explicitadas considerarão, claro, as frações irracionais dos tipos indicados nos exemplos b) e c) acima.
Tem grande importância no processo de racionalização a seguinte propriedade das frações: Uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.
Definições
Racionalização dos denominadores irracionais de uma fração irracional é a operação que tem por finalidade transformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional.
Exemplos
[Exemplos de Racionalização]
Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também irracional, em que o produto entre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, que a torne uma expressão racional.
Para que o significado de fator racionalizante seja melhor entendido nada como alguns exemplos:
Exemplos de Fatores Racionalizantes
Observe que nos exemplos da definição de Racionalização dos denominadores irracionais foi utilizado o conceito de fator racionalizante.
Produtos Notáveis
Os produtos notáveis, ou derivados deles, têm um papel importante na racionalização de denominadores de frações irracionais. Por isso, faço um parêntesis para, antes de colocar as técnicas, definir alguns dos mais utilizados:
1) a2 – b2 = (a + b)(a – b)
2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
3) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Note que no exemplo b) acima foi utilizado o produto notável definido em 1) e no c) o definido em 2).
Técnicas ou Regras de Racionalização Mais Frequentes
T1. Frações irracionais do tipo:
Racionalização do Tipo T1
têm como fator racionalizante:
Fator Racionalizante Tipo T1
Exemplos:
Exemplos Racionalização do Tipo T1
T2. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):
Racionalização do Tipo T2
têm como fatores racionalizantes:
Fatores Racionalizantes T2
respectivamente.
Demonstração do segundo tipo:
Bem simples, basta somente usar o produto notável definido em 1) acima:
Demonstração do Fator Racionalizante Tipo T2
A demonstração dos demais seguem raciocínio semelhante e ficam como exercício.
Exemplos
Exemplos Racionalização do Tipo T2
T3. Frações irracionais que têm no denominador um polinômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):
Racionalização do Tipo T3
A idéia é fazer recair no caso anterior mediante uma adequada associação de termos. Para ilustrar, é apresentada a demonstração para n = 3. Você observará que a racionalização necessitará de dois fatores racionalizantes.
Demonstração:
Demonstração do Fator Racionalizante Tipo T3
Exemplo:
Exemplos Técnica T3 de Racionalização
T4. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 3 (raízes cúbicas):
Técnica T4 de Racionalização
têm como fator racionalizante:
Fator Racionalizante Tipo T4
A demonstração já foi feita no exemplo c) da definição de fator racionalizante e é consequência dos produtos notáveis 2) e 3) definidos anteriormente.
Referências:
1. Abecedário da Álgebra (Volume 1 – Ciclo Ginasial), Darcy Leal de Menezes, Rio de Janeiro, Departamento de Imprensa Nacional, primeira edição, 1959;
2. Praticando Matemática, Álvaro Andrini, São Paulo, Editora do Brasil S/A.
- Potenciação E Radiciação De Frações
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia Professor Antonio Carlos carneiro Barroso email [email protected] HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.com...
- FraÇÕes AlgÉbricas
Frações algébricas é o quociente de divisão de duas expressões algébricas Exemplos a) x/5y b) (x+y) / (a – 1) c) ( x – 1) / ( y + 2 ) Observações 1) Nas rações algébricas o numerador e o denominador são polinômios ou monômios 2) O denominador...
- Racionalização De Denominadores
A racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para substituir uma outra com denominador irracional.Conseguimos isto realizando algumas operações que eliminam o radical...
- Adição E Subtração De Frações
Adição e Subtração de Frações Para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, somam-se os numeradores e repete-se o denominador. Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais,...
- Polinômios Simplificação
A simplificação de frações é feita dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número, isto seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, obtendo uma fração mais simples e equivalente. Observe os exemplos: Com base nesse mesmo...
Matemática
Radicais
O objetivo é apresentar as principais técnicas utilizadas na racionalização de denominadores de frações irracionais, uma vez que não é possível estabelecer uma regra geral face à infinidade de formas que esses denominadores podem assumir.
Para que o entendimento seja mais efetivo é imprescindível o conhecimento das propriedades de Radiciação e Potenciação, dentre outros conceitos que serão apresentados mas não demonstrados, por fugirem ao escopo da matéria.
O assunto está sendo tratado em decorrência do resultado da pesquisa feita no Blog, em que obteve a segunda colocação entre os temas propostos (11 votos). Maiores detalhes podem ser obtidos através do link Consultar Pesquisas na barra lateral de navegação.
FRAÇÕES IRRACIONAIS
Definição
Fração irracional é a que tem pelo menos um termo, o numerador ou o denominador, irracional ou sob radical.
Exemplos:
Exemplos de Frações Irracionais
RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES DE FRAÇÕES IRRACIONAIS
As técnicas a serem explicitadas considerarão, claro, as frações irracionais dos tipos indicados nos exemplos b) e c) acima.
Tem grande importância no processo de racionalização a seguinte propriedade das frações: Uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.
Definições
Racionalização dos denominadores irracionais de uma fração irracional é a operação que tem por finalidade transformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional.
Exemplos
[Exemplos de Racionalização]
Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também irracional, em que o produto entre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, que a torne uma expressão racional.
Para que o significado de fator racionalizante seja melhor entendido nada como alguns exemplos:
Exemplos de Fatores Racionalizantes
Observe que nos exemplos da definição de Racionalização dos denominadores irracionais foi utilizado o conceito de fator racionalizante.
Produtos Notáveis
Os produtos notáveis, ou derivados deles, têm um papel importante na racionalização de denominadores de frações irracionais. Por isso, faço um parêntesis para, antes de colocar as técnicas, definir alguns dos mais utilizados:
1) a2 – b2 = (a + b)(a – b)
2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
3) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Note que no exemplo b) acima foi utilizado o produto notável definido em 1) e no c) o definido em 2).
Técnicas ou Regras de Racionalização Mais Frequentes
T1. Frações irracionais do tipo:
Racionalização do Tipo T1
têm como fator racionalizante:
Fator Racionalizante Tipo T1
Exemplos:
Exemplos Racionalização do Tipo T1
T2. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):
Racionalização do Tipo T2
têm como fatores racionalizantes:
Fatores Racionalizantes T2
respectivamente.
Demonstração do segundo tipo:
Bem simples, basta somente usar o produto notável definido em 1) acima:
Demonstração do Fator Racionalizante Tipo T2
A demonstração dos demais seguem raciocínio semelhante e ficam como exercício.
Exemplos
Exemplos Racionalização do Tipo T2
T3. Frações irracionais que têm no denominador um polinômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):
Racionalização do Tipo T3
A idéia é fazer recair no caso anterior mediante uma adequada associação de termos. Para ilustrar, é apresentada a demonstração para n = 3. Você observará que a racionalização necessitará de dois fatores racionalizantes.
Demonstração:
Demonstração do Fator Racionalizante Tipo T3
Exemplo:
Exemplos Técnica T3 de Racionalização
T4. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 3 (raízes cúbicas):
Técnica T4 de Racionalização
têm como fator racionalizante:
Fator Racionalizante Tipo T4
A demonstração já foi feita no exemplo c) da definição de fator racionalizante e é consequência dos produtos notáveis 2) e 3) definidos anteriormente.
Referências:
1. Abecedário da Álgebra (Volume 1 – Ciclo Ginasial), Darcy Leal de Menezes, Rio de Janeiro, Departamento de Imprensa Nacional, primeira edição, 1959;
2. Praticando Matemática, Álvaro Andrini, São Paulo, Editora do Brasil S/A.
- Potenciação E Radiciação De Frações
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Frações algébricas é o quociente de divisão de duas expressões algébricas Exemplos a) x/5y b) (x+y) / (a – 1) c) ( x – 1) / ( y + 2 ) Observações 1) Nas rações algébricas o numerador e o denominador são polinômios ou monômios 2) O denominador...
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Adição e Subtração de Frações Para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, somam-se os numeradores e repete-se o denominador. Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais,...
- Polinômios Simplificação
A simplificação de frações é feita dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número, isto seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, obtendo uma fração mais simples e equivalente. Observe os exemplos: Com base nesse mesmo...