Matemática
RESTOS
Para calcularmos o resto da divisão de um número N por um número p de critério de divisibilidade conhecido aplicamos esse
critério e subtraímos do valor encontrado o menor múltiplo de p imediatamente inferior a esse número.
Restos por 2
Se o número for ímpar ele deixará por 2 o resto 1, se for par ele será divisível por 2 e deixará, ao ser dividido por 2, o resto 0
Exemplo 01 : 123 deixa por 2 o resto 1, 1 065 deixa por 2 o resto 1, pois ambos terminam em números ímpares. 348 é divisível por 2 e
deixa portanto o resto 0 pois termina num algarismo par.
Restos por 3
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 3 imediatamente inferior.
Exemplo 02 : 125 deixa por 3 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 3 ==> 1 + 2 + 5 = 8, o múltiplo de 3 imediatamente
inferior a 8 é 6. Com isso o resto da divisão de 125 por 3 será : 8 - 6 = 2
Exemplo 03 : 574 deixa por 3 o resto 1, já que pelo critério de divisibilidade por 3 ==> 5 + 7 + 4 = 16, o múltiplo de 3 imediatamente
inferior a 16 é 15. Com isso o resto da divisão de 574 por 3 será : 16 - 15 = 1
Restos por 4
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 4 imediatamente inferior.
Exemplo 04 : 295 deixa por 4 o resto 3, já que pelo critério de divisibilidade por 4, os dois últimos algarismos de 295 formam o número
95, o múltiplo de 4 imediatamente inferior a 95 é 92. Com isso o resto da divisão de 295 por 4 será : 95 - 92 = 3
Exemplo 05 : 374 deixa por 4 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 4, os dois últimos algarismos de 374 formam o número
74, o múltiplo de 4 imediatamente inferior a 74 é 72. Com isso o resto da divisão de 374 por 4 será : 74 - 72 = 2
Restos por 5
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 5 imediatamente inferior.
Exemplo 06 : 398 deixa por 5 o resto 3, já que pelo critério de divisibilidade por 5, o último algarismo de 398 é 8, o múltiplo de 5
imediatamente inferior a 8 é 5.
Com isso o resto da divisão de 398 por 5 será : 8 - 5 = 3
Exemplo 07 : 874 deixa por 5 o resto 4, já que pelo critério de divisibilidade por 5, o último algarismo de 874 é 4, o múltiplo de 5
imediatamente inferior a 4 é 0.
Com isso o resto da divisão de 874 por 5 será : 4 - 0 = 4
Restos por 6
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 6 imediatamente inferior.
Exemplo 08 : 193 deixa por 6 o resto 4, já que pelo critério de divisibilidade por 6, a soma do sextuplo do algarismo das unidades
com o quádruplo da soma dos demais algarismos nos dá o número 6 X 3 + (1 + 9) X 4 = 58, o múltiplo de 6 imediatamente inferior a 58
é 54. Com isso o resto da divisão de 193 por 6 será : 58 - 54 = 4
Exemplo 09 : 384 deixa por 6 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 6, a soma do sextuplo do algarismo das unidades
com o quádruplo da soma dos demais algarismos nos dá o número : 6 X 4 + (3 + 8) X 4 = 68, o múltiplo de 6 imediatamente inferior a 68
é 66. Com isso o resto da divisão de 384 por 6 será : 68 - 66 = 2
Restos por 8
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 8 imediatamente inferior.
Exemplo 10 : 1 357 deixa por 8 o resto 5 já que pelo critério de divisibilidade por 8, a soma do quádruplo do algarismo das centenas
adicionado ao dobro do algarismo das dezenas e adicionado ao algarismo das unidades nos dá o número: (4 X 3) + (2 X 5) + 7 = 29,
o múltiplo de 8 imediatamente inferior a 29 é 24. Com isso o resto da divisão de 1 357 por 8 será : 29 - 24 = 5
Exemplo 11 : 2 564 deixa por 8 o resto 4 já que pelo critério de divisibilidade por 8, a soma do quádruplo do algarismo das centenas
adicionado ao dobro do algarismo das dezenas e adicionado ao algarismo das unidades nos dá o número: (4 X 5) + (2 X 6) + 4 = 36,
o múltiplo de 8 imediatamente inferior a 36 é 32. Com isso o resto da divisão de 2 564 por 8 será : 36 - 32 = 4
Restos por 9
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 9 imediatamente inferior.
Exemplo 12 : 321 deixa por 9 o resto 6, já que pelo critério de divisibilidade por 9
3 + 2 + 1 = 6, o múltiplo de 9 imediatamente inferior a 6 é 0. Com isso o resto da divisão de 321
por 9 será : 6 - 0 = 6
Exemplo 13 : 6 584 deixa por 9 o resto 5, já que pelo critério de divisibilidade por 9
6 + 5 + 8 + 4 = 23, o múltiplo de 9 imediatamente inferior a 23 é 18. Com isso o resto da
divisão de 6 584 por 9 será : 23 - 18 = 5
Restos por 10
Nesse caso não nos será necessário aplicarmos o critério de divisibilidade já que o resto da divisão de um número por 10 será sempre
o algarismo das unidades.
Exemplo 14 : 321 deixa por 10 o resto 1, 423 deixa por 10 o resto 3, 846 deixa por 10 o resto 6.
Restos por 11
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 11 imediatamente inferior.
Exemplo 15 : 3 429 deixa por 11 o resto 8, já que pelo critério de divisibilidade por 11, um número é divisível por 11 quando a soma dos
algarismos de ordem ímpar Si diminuída da soma dos algarismos de ordem par Sp for um número inteiro divisível por 11.
Assim teremos : Si -> ( 9 + 4 ) = 13 e Sp -> ( 2 + 3 ) = 5 e Si - Sp = 8. Como o múltiplo de 11 imediatamente inferior a 8 é 0,
concluímos que o resto da divisão de 3 429 por 11 será : 8 - 0 = 8
Exemplo 16 : 538 146 deixa por 11 o resto 4, já que Si = 6 + 1 + 3 e Sp = 4 + 8 + 5 E a diferença Si - Sp = 10 - 17 = - 7 . Quando o
resultado obtido for um número inteiro negativo devemos acrescentar tantos "onzes" quantos forem necessários até que o tornemos
um número inteiro positivo compreendido entre 0 e 10 ( os restos possíveis numa divisão por 11 ) .
Assim teremos : - 7 + 11 = 4 e dessa forma concluímos que o resto da divisão de 538 146 por 11 será igual a 4 .
Se, por exemplo, encontrássemos pelo critério por 11 o número - 25 somaríamos - 25 + 11 + 11 + 11 = 8 e esse seria o resto procurado.
Restos de Expressões
Para calcularmos o resto da divisão de uma expressão aritmética N por um número p, de critério de divisibilidade conhecido,
aplicamos esse critério para cada um dos termos dessa expressão e calculamos com esses novos valores o valor dessa expressão.
A diferença entre esse número e o múltiplo imediatamente inferior de p nos dará o resto que o resultado N dessa expressão deixaria
por p.
Exemplo 17 : Que resto o resultado da expressão N = 32 875 + 7 238 x 148 304 deixa respectivamente por 3, 4, 5 e 11 ?
Por 3 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => 3 + 2 + 8 + 7 + 5 = 25 - 24 = 1 ; 7 231 => 7 + 2 + 3 + 8 = 20 - 18 = 2 e 1 + 4 + 8 + 3 + 0 + 4 = 20 - 18 = 2.
Com isso teremos : 1 + 2 X 2 = 1 + 4 = 5 e 5 - 3 = 2 e N deixa por 3 o resto 2
Por 4 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => 75 - 72 = 3 ; 7 231 => 31 - 28 = 3 e 148 304 => 04 - 04 = 0.
Com isso teremos : 3 + 3 X 0 = 3 + 0 = 3 e 3 - 0 = 3 e N deixa por 4 o resto 3
Por 5 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => 5 - 5 = 0 ; 7 231 => 1 - 0 = 1 e 148 304 => 4 - 0 = 4
Com isso teremos : 0 + 1 X 4 = 0 + 4 = 4 e 4 - 0 = 4 e N deixa por 5 o resto 4
Por 11 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => (5 + 8 + 3) - (7 + 2) = 16 - 9 = 7 ;
7 231 => (1 + 2) - (3 + 7) = 3 - 10 = - 7. tornando-o positivo temos - 7 + 11 = 4
148 304 => (4 + 3 + 4) - (0 + 8 + 1) = 11 - 9 = 2 ;
Com isso teremos : 7 + 4 X 2 = 7 + 8 = 15 e 15 - 11 = 4 e N deixa por 11 o resto 4
Exemplo 18 : Que resto o resultado da expressão P = 42 7933 x 73 2084 deixa por 9 ?
Aplicando o critério de 9 para cada um dos termos teremos :
42 793 => 4 + 2 + 7 + 9 + 3 = 25 - 18 = 7
73 208 => 7 + 3 + 2 + 0 + 8 = 20 - 18 = 2
Com isso teremos : 73 24 = 143 x 16 e reaplicando o critério por 9 teremos :
143 => 1 + 4 + 3 = 8 - 0 = 8 e 16 => 16 - 9 = 7 e finalizando :
8 x 7 = 56 que deixa por 9 o resto 56 - 54 = 2, então P deixa por 9 o resto 2
Restos de Potências "Exageradas"
Para calcularmos o resto da divisão de uma potência Ns, onde s é um número "exagerado", por um número p, de critério de
divisibilidade conhecido, aplicamos esse critério para a base N dessa potência e analisamos o comportamento que as potências
desse resto possuem ao serem divididas por p.
Exemplo 19 : Que resto a potência 23 983367 deixa por 5 ?
Calculemos, inicialmente, o resto da base 23 983 por 5 => 3 - 0 = 3
E agora analisemos como as potências de 3 se comportam numa divisão por 5
31 = 3 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 3
32 = 9 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 4
33 = 27 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 2
34 = 81 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 1
35 = 243 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 3
36 = 729 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 4
37 = 2 187 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 2
38 = 6 561 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 1
Pela tabela percebemos que as potências de 3 quando divididas por 5 geram sucessiva e repetidamente 4 restos, respectivamente,
3, 4, 2 e 1. Com isso podemos concluir que o expoente 367 conterá 367 : 4 grupos completos dessas sucessões de restos e o resto
dessa divisão nos dará o resto que procuramos.
367 : 4 quociente 91 e resto 3 Dessa forma compreendemos que até chegarmos ao expoente 367 teremos formado 91 grupos
completos e mais 3 "sobrando"
Na prática o que faremos será igualarmos o resto 3, dessa divisão por 4, ao expoente 3 de nossa tabela original, com isso finalmente
podemos concluir que :
33 = 27 Que deixa quando dividido por 5 o resto 2
23 983367 deixa por 5 o resto 2
Exemplo 20 : Que resto a potência 275 3961345 deixa por 9 ?
Calculemos, inicialmente, o resto da base 275 396 por 9
275 396 por 9 2 + 7 + 5 + 3 + 9 + 6 = 32 e o resto será : 32 - 27 = 5
E agora analisemos como as potências de 5 se comportam numa divisão por 9
51 = 5 Que deixa, quando dividida por 9, o resto 5
52 = 25 Que deixa, quando dividida por 9, o resto 7
53 = 125 Que deixa, quando dividida por 9, o resto 8
54 = 40 * Que deixa, quando dividida por 9, o resto 4
55 = 20 * Que deixa, quando dividida por 9, o resto 2
56 = 10 * Que deixa, quando dividida por 9, o resto 1**
* Quando o cálculo das potências se torna muito trabalhoso aplicamos um "macete" bastante adequado
multiplicamos o último resto encontrado pelo primeiro resto.
Assim 54 último resto 8 X primeiro resto 5 = 40 que dá o resto 40 - 36 = 4
Assim 55 último resto 4 X primeiro resto 5 = 20 que dá o resto 20 - 18 = 2
Assim 56 último resto 2 X primeiro resto 5 = 10 que dá o resto 10 - 9 = 1
** Sempre que encontramos o resto 1 compreendemos que a partir daí a tabela se repetirá .
Pela tabela percebemos que as potências de 5 quando divididas por 9 geram sucessiva e repetidamente 6 restos, respectivamente,
5, 7, 8, 4, 2 e 1. Com isso podemos concluir que o expoente 1 345 conterá 1 345 : 6 grupos completos dessas sucessões de restos e
o resto dessa divisão nos dará o resto que procuramos.
1 345 : 6 quociente 227 e resto 3 Dessa forma compreendemos que até chegarmos ao expoente 1 345 teremos formado 227 grupos
completos e mais 3 "sobrando"
Na prática o que faremos será igualarmos o resto 3 dessa divisão por 6 ao expoente 3 de nossa tabela original, com isso finalmente
podemos concluir que :
53 = 125 Que deixa quando dividido por 9 o resto 8
275 3961345 deixa por 9 o resto 8
Exercícios Propostos
I - Determine na tabela abaixo os restos que os números deixam respectivamente por :
367 549 933 1 071 5 482 12 576 21 375 48 638 105 378 337 892
01) 2 . . . . . . . . . .
02) 3 . . . . . . . . . .
03) 4 . . . . . . . . . .
04) 5 . . . . . . . . . .
05) 8 . . . . . . . . . .
06) 9 . . . . . . . . . .
07) 10 . . . . . . . . . .
08) 11 . . . . . . . . . .
II - Qual o menor número que se deve adicionar ao número dado para que resulte um número divisível por :
127 328 439 777 903 1 203 3 456 7 843 10 131 47 867
09) 2 . . . . . . . . . .
10) 3 . . . . . . . . . .
11) 4 . . . . . . . . . .
12) 5 . . . . . . . . . .
13) 9 . . . . . . . . . .
14) 10 . . . . . . . . . .
15) 11 . . . . . . . . . .
III - Qual o menor número que se deve subtrair do número dado para que resulte um número divisível por :
231 345 507 659 908 1 231 3 785 7 333 17 994 67 562
16) 2 . . . . . . . . . .
17) 3 . . . . . . . . . .
18) 4 . . . . . . . . . .
19) 5 . . . . . . . . . .
20) 8 . . . . . . . . . .
21) 9 . . . . . . . . . .
22) 10 . . . . . . . . . .
23) 11 . . . . . . . . . .
24) Determine o resto que o resultado da expressão 12 450 + 45 876 X 23 887 deixa respectivamente por 2, 3, 4, 5, 9 e 11:
25) Determine o resto que o resultado da expressão 27 4962 X 5 6263 + 123 507 deixa respectivamente por 2, 3, 4, 5, 9 e 11:
26) Determine o menor valor de A na expressão 7 321 X 158 286 + A que torna o resultado respectivamente divisível por
3, 5, 9 e 10 :
27) Determine o menor valor de A na expressão 14 8754 + 8 2863 X A que torna o resultado respectivamente divisível por
3, 5, 8 e 11 :
28) Que resto a soma S de 5 números naturais e consecutivos deixa por 8, sabendo que o menor deles deixa por 8 o resto 5
29) Que resto a soma S de 7 números naturais e consecutivos deixa por 11, sabendo que o menor deles deixa por 11 o resto 9.
30) Que resto o produto P de 5 números naturais e consecutivos deixa por 7, sabendo que o maior deles deixa por 7 o resto 6
31) Que resto o produto P de 8 números naturais e consecutivos deixa por 10, sabendo que o maior deles deixa por 11 o resto 8.
32) A potência 578127 quando dividida por 3, 5 e 11 deixa, respectivamente, os restos :
33) A potência 1 672449, quando dividida por 4, 6 e 9 deixa, respectivamente, os restos :
34) Determine o resto da expressão 73 191342 X 5 476361 + 23 507769 deixa respectivamente por 2, 3, 5 e 11:
35) Determine o menor valor de A na expressão 16 045562 + 7 106345 X A que torna o resultado respectivamente divisível por 3, 5 e 10 :
36) Se A e B deixam, quando divididos por 7, respectivamente, os restos 2 e 5. Que resto a expressão A11 X B12 deixará
quando dividida por 7 ?
37) Se A, B e C deixam, quando divididos por 9, respectivamente, os restos 3, 4 e 7. Que resto a expressão A21 X B35 X C17 deixará
quando dividida por 9 ?
38) Determine o menor valor do expoente n, na expressão : 125n + 2 439217 para que o resultado seja divisível por 11.
39) Sabendo que n é um número ímpar de dois algarismos, determine o menor valor do expoente n, na expressão :
4 675n + 6 134673 para que o resultado seja divisível por 9.
40) Determine na expressão 723 n + 2 739 2p, o menor valor de n + p, para que o resultado seja um número divisível por 5.
Questões de Concurso
41) ( EPCAR 2000 ) Seja um número m = 488a9b, onde "b" é o algarismo das unidades e "a" é o algarismo das centenas.
Sabe-se que m é divisível por 55, então o menor valor de a + b é igual a :
a) 2 b) 7 c) 10 d) 13
42) ( Colégio Naval - 1990 ) O número 583ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos algarismos a e b, é:
a) indeterminado b) 20 c) 18 d) 11 d) 2
43) ( Colégio Naval - 1990 ) Considere as Afirmativas :
(I) O número 1147 não é primo
(II) Todo número da forma abba, onde a e b são algarismos, é divisível por 11.
(III) Todo o número múltiplo de 5 e 15 é múltiplo de 75
(IV) O número de divisores naturais de 576 é divisor de 63
O número de afirmativas verdadeiras é :
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 d) 4
44) ( CEFET 1972 ) O menor número real que se subtrair da expressão : 121 1/2 + 512 2/3 + 10.000 3/4 para que seja divisível por 9 é :
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 d) 6
45) ( CEFET 1973 ) Quantos divisores tem o número 216 1,333... :
a) 25 b) 20 c) 15 d) 16 d) N.R.A
46) ( CEFET 1975 ) A interseção do conjuntos de divisores de um número natural com o conjunto dos múltiplos do mesmo número
é um conjunto :
a) Vazio b) Unitário c) de números primos
d) com números ilimitado de elementos d) N.R.A
47) ( UFMG-99 ) Sabe-se que o número 213 - 1 é primo. Seja n = 217 - 16. No conjunto dos números naturais, o número de
divisores de n é:
a) 5 b) 8 c) 6 d) 10
48) ( CEFET 1999 - 2ª fase ) Se N = 2 x 302 , qual o número de divisores de N que são também múltiplos de 15?
49) ( CEFET - 2000 ) O número de inteiros compreendidos entre 200 e 500 que são divisíveis por 5 e não divisíveis por 15, é:
a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 d) 80
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Matemática
RESTOS
RESTOS
Para calcularmos o resto da divisão de um número N por um número p de critério de divisibilidade conhecido aplicamos esse
critério e subtraímos do valor encontrado o menor múltiplo de p imediatamente inferior a esse número.
Restos por 2
Se o número for ímpar ele deixará por 2 o resto 1, se for par ele será divisível por 2 e deixará, ao ser dividido por 2, o resto 0
Exemplo 01 : 123 deixa por 2 o resto 1, 1 065 deixa por 2 o resto 1, pois ambos terminam em números ímpares. 348 é divisível por 2 e
deixa portanto o resto 0 pois termina num algarismo par.
Restos por 3
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 3 imediatamente inferior.
Exemplo 02 : 125 deixa por 3 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 3 ==> 1 + 2 + 5 = 8, o múltiplo de 3 imediatamente
inferior a 8 é 6. Com isso o resto da divisão de 125 por 3 será : 8 - 6 = 2
Exemplo 03 : 574 deixa por 3 o resto 1, já que pelo critério de divisibilidade por 3 ==> 5 + 7 + 4 = 16, o múltiplo de 3 imediatamente
inferior a 16 é 15. Com isso o resto da divisão de 574 por 3 será : 16 - 15 = 1
Restos por 4
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 4 imediatamente inferior.
Exemplo 04 : 295 deixa por 4 o resto 3, já que pelo critério de divisibilidade por 4, os dois últimos algarismos de 295 formam o número
95, o múltiplo de 4 imediatamente inferior a 95 é 92. Com isso o resto da divisão de 295 por 4 será : 95 - 92 = 3
Exemplo 05 : 374 deixa por 4 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 4, os dois últimos algarismos de 374 formam o número
74, o múltiplo de 4 imediatamente inferior a 74 é 72. Com isso o resto da divisão de 374 por 4 será : 74 - 72 = 2
Restos por 5
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 5 imediatamente inferior.
Exemplo 06 : 398 deixa por 5 o resto 3, já que pelo critério de divisibilidade por 5, o último algarismo de 398 é 8, o múltiplo de 5
imediatamente inferior a 8 é 5.
Com isso o resto da divisão de 398 por 5 será : 8 - 5 = 3
Exemplo 07 : 874 deixa por 5 o resto 4, já que pelo critério de divisibilidade por 5, o último algarismo de 874 é 4, o múltiplo de 5
imediatamente inferior a 4 é 0.
Com isso o resto da divisão de 874 por 5 será : 4 - 0 = 4
Restos por 6
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 6 imediatamente inferior.
Exemplo 08 : 193 deixa por 6 o resto 4, já que pelo critério de divisibilidade por 6, a soma do sextuplo do algarismo das unidades
com o quádruplo da soma dos demais algarismos nos dá o número 6 X 3 + (1 + 9) X 4 = 58, o múltiplo de 6 imediatamente inferior a 58
é 54. Com isso o resto da divisão de 193 por 6 será : 58 - 54 = 4
Exemplo 09 : 384 deixa por 6 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 6, a soma do sextuplo do algarismo das unidades
com o quádruplo da soma dos demais algarismos nos dá o número : 6 X 4 + (3 + 8) X 4 = 68, o múltiplo de 6 imediatamente inferior a 68
é 66. Com isso o resto da divisão de 384 por 6 será : 68 - 66 = 2
Restos por 8
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 8 imediatamente inferior.
Exemplo 10 : 1 357 deixa por 8 o resto 5 já que pelo critério de divisibilidade por 8, a soma do quádruplo do algarismo das centenas
adicionado ao dobro do algarismo das dezenas e adicionado ao algarismo das unidades nos dá o número: (4 X 3) + (2 X 5) + 7 = 29,
o múltiplo de 8 imediatamente inferior a 29 é 24. Com isso o resto da divisão de 1 357 por 8 será : 29 - 24 = 5
Exemplo 11 : 2 564 deixa por 8 o resto 4 já que pelo critério de divisibilidade por 8, a soma do quádruplo do algarismo das centenas
adicionado ao dobro do algarismo das dezenas e adicionado ao algarismo das unidades nos dá o número: (4 X 5) + (2 X 6) + 4 = 36,
o múltiplo de 8 imediatamente inferior a 36 é 32. Com isso o resto da divisão de 2 564 por 8 será : 36 - 32 = 4
Restos por 9
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 9 imediatamente inferior.
Exemplo 12 : 321 deixa por 9 o resto 6, já que pelo critério de divisibilidade por 9
3 + 2 + 1 = 6, o múltiplo de 9 imediatamente inferior a 6 é 0. Com isso o resto da divisão de 321
por 9 será : 6 - 0 = 6
Exemplo 13 : 6 584 deixa por 9 o resto 5, já que pelo critério de divisibilidade por 9
6 + 5 + 8 + 4 = 23, o múltiplo de 9 imediatamente inferior a 23 é 18. Com isso o resto da
divisão de 6 584 por 9 será : 23 - 18 = 5
Restos por 10
Nesse caso não nos será necessário aplicarmos o critério de divisibilidade já que o resto da divisão de um número por 10 será sempre
o algarismo das unidades.
Exemplo 14 : 321 deixa por 10 o resto 1, 423 deixa por 10 o resto 3, 846 deixa por 10 o resto 6.
Restos por 11
Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 11 imediatamente inferior.
Exemplo 15 : 3 429 deixa por 11 o resto 8, já que pelo critério de divisibilidade por 11, um número é divisível por 11 quando a soma dos
algarismos de ordem ímpar Si diminuída da soma dos algarismos de ordem par Sp for um número inteiro divisível por 11.
Assim teremos : Si -> ( 9 + 4 ) = 13 e Sp -> ( 2 + 3 ) = 5 e Si - Sp = 8. Como o múltiplo de 11 imediatamente inferior a 8 é 0,
concluímos que o resto da divisão de 3 429 por 11 será : 8 - 0 = 8
Exemplo 16 : 538 146 deixa por 11 o resto 4, já que Si = 6 + 1 + 3 e Sp = 4 + 8 + 5 E a diferença Si - Sp = 10 - 17 = - 7 . Quando o
resultado obtido for um número inteiro negativo devemos acrescentar tantos "onzes" quantos forem necessários até que o tornemos
um número inteiro positivo compreendido entre 0 e 10 ( os restos possíveis numa divisão por 11 ) .
Assim teremos : - 7 + 11 = 4 e dessa forma concluímos que o resto da divisão de 538 146 por 11 será igual a 4 .
Se, por exemplo, encontrássemos pelo critério por 11 o número - 25 somaríamos - 25 + 11 + 11 + 11 = 8 e esse seria o resto procurado.
Restos de Expressões
Para calcularmos o resto da divisão de uma expressão aritmética N por um número p, de critério de divisibilidade conhecido,
aplicamos esse critério para cada um dos termos dessa expressão e calculamos com esses novos valores o valor dessa expressão.
A diferença entre esse número e o múltiplo imediatamente inferior de p nos dará o resto que o resultado N dessa expressão deixaria
por p.
Exemplo 17 : Que resto o resultado da expressão N = 32 875 + 7 238 x 148 304 deixa respectivamente por 3, 4, 5 e 11 ?
Por 3 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => 3 + 2 + 8 + 7 + 5 = 25 - 24 = 1 ; 7 231 => 7 + 2 + 3 + 8 = 20 - 18 = 2 e 1 + 4 + 8 + 3 + 0 + 4 = 20 - 18 = 2.
Com isso teremos : 1 + 2 X 2 = 1 + 4 = 5 e 5 - 3 = 2 e N deixa por 3 o resto 2
Por 4 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => 75 - 72 = 3 ; 7 231 => 31 - 28 = 3 e 148 304 => 04 - 04 = 0.
Com isso teremos : 3 + 3 X 0 = 3 + 0 = 3 e 3 - 0 = 3 e N deixa por 4 o resto 3
Por 5 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => 5 - 5 = 0 ; 7 231 => 1 - 0 = 1 e 148 304 => 4 - 0 = 4
Com isso teremos : 0 + 1 X 4 = 0 + 4 = 4 e 4 - 0 = 4 e N deixa por 5 o resto 4
Por 11 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => (5 + 8 + 3) - (7 + 2) = 16 - 9 = 7 ;
7 231 => (1 + 2) - (3 + 7) = 3 - 10 = - 7. tornando-o positivo temos - 7 + 11 = 4
148 304 => (4 + 3 + 4) - (0 + 8 + 1) = 11 - 9 = 2 ;
Com isso teremos : 7 + 4 X 2 = 7 + 8 = 15 e 15 - 11 = 4 e N deixa por 11 o resto 4
Exemplo 18 : Que resto o resultado da expressão P = 42 7933 x 73 2084 deixa por 9 ?
Aplicando o critério de 9 para cada um dos termos teremos :
42 793 => 4 + 2 + 7 + 9 + 3 = 25 - 18 = 7
73 208 => 7 + 3 + 2 + 0 + 8 = 20 - 18 = 2
Com isso teremos : 73 24 = 143 x 16 e reaplicando o critério por 9 teremos :
143 => 1 + 4 + 3 = 8 - 0 = 8 e 16 => 16 - 9 = 7 e finalizando :
8 x 7 = 56 que deixa por 9 o resto 56 - 54 = 2, então P deixa por 9 o resto 2
Restos de Potências "Exageradas"
Para calcularmos o resto da divisão de uma potência Ns, onde s é um número "exagerado", por um número p, de critério de
divisibilidade conhecido, aplicamos esse critério para a base N dessa potência e analisamos o comportamento que as potências
desse resto possuem ao serem divididas por p.
Exemplo 19 : Que resto a potência 23 983367 deixa por 5 ?
Calculemos, inicialmente, o resto da base 23 983 por 5 => 3 - 0 = 3
E agora analisemos como as potências de 3 se comportam numa divisão por 5
31 = 3 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 3
32 = 9 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 4
33 = 27 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 2
34 = 81 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 1
35 = 243 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 3
36 = 729 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 4
37 = 2 187 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 2
38 = 6 561 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 1
Pela tabela percebemos que as potências de 3 quando divididas por 5 geram sucessiva e repetidamente 4 restos, respectivamente,
3, 4, 2 e 1. Com isso podemos concluir que o expoente 367 conterá 367 : 4 grupos completos dessas sucessões de restos e o resto
dessa divisão nos dará o resto que procuramos.
367 : 4 quociente 91 e resto 3 Dessa forma compreendemos que até chegarmos ao expoente 367 teremos formado 91 grupos
completos e mais 3 "sobrando"
Na prática o que faremos será igualarmos o resto 3, dessa divisão por 4, ao expoente 3 de nossa tabela original, com isso finalmente
podemos concluir que :
33 = 27 Que deixa quando dividido por 5 o resto 2
23 983367 deixa por 5 o resto 2
Exemplo 20 : Que resto a potência 275 3961345 deixa por 9 ?
Calculemos, inicialmente, o resto da base 275 396 por 9
275 396 por 9 2 + 7 + 5 + 3 + 9 + 6 = 32 e o resto será : 32 - 27 = 5
E agora analisemos como as potências de 5 se comportam numa divisão por 9
51 = 5 Que deixa, quando dividida por 9, o resto 5
52 = 25 Que deixa, quando dividida por 9, o resto 7
53 = 125 Que deixa, quando dividida por 9, o resto 8
54 = 40 * Que deixa, quando dividida por 9, o resto 4
55 = 20 * Que deixa, quando dividida por 9, o resto 2
56 = 10 * Que deixa, quando dividida por 9, o resto 1**
* Quando o cálculo das potências se torna muito trabalhoso aplicamos um "macete" bastante adequado
multiplicamos o último resto encontrado pelo primeiro resto.
Assim 54 último resto 8 X primeiro resto 5 = 40 que dá o resto 40 - 36 = 4
Assim 55 último resto 4 X primeiro resto 5 = 20 que dá o resto 20 - 18 = 2
Assim 56 último resto 2 X primeiro resto 5 = 10 que dá o resto 10 - 9 = 1
** Sempre que encontramos o resto 1 compreendemos que a partir daí a tabela se repetirá .
Pela tabela percebemos que as potências de 5 quando divididas por 9 geram sucessiva e repetidamente 6 restos, respectivamente,
5, 7, 8, 4, 2 e 1. Com isso podemos concluir que o expoente 1 345 conterá 1 345 : 6 grupos completos dessas sucessões de restos e
o resto dessa divisão nos dará o resto que procuramos.
1 345 : 6 quociente 227 e resto 3 Dessa forma compreendemos que até chegarmos ao expoente 1 345 teremos formado 227 grupos
completos e mais 3 "sobrando"
Na prática o que faremos será igualarmos o resto 3 dessa divisão por 6 ao expoente 3 de nossa tabela original, com isso finalmente
podemos concluir que :
53 = 125 Que deixa quando dividido por 9 o resto 8
275 3961345 deixa por 9 o resto 8
Exercícios Propostos
I - Determine na tabela abaixo os restos que os números deixam respectivamente por :
367 549 933 1 071 5 482 12 576 21 375 48 638 105 378 337 892
01) 2 . . . . . . . . . .
02) 3 . . . . . . . . . .
03) 4 . . . . . . . . . .
04) 5 . . . . . . . . . .
05) 8 . . . . . . . . . .
06) 9 . . . . . . . . . .
07) 10 . . . . . . . . . .
08) 11 . . . . . . . . . .
II - Qual o menor número que se deve adicionar ao número dado para que resulte um número divisível por :
127 328 439 777 903 1 203 3 456 7 843 10 131 47 867
09) 2 . . . . . . . . . .
10) 3 . . . . . . . . . .
11) 4 . . . . . . . . . .
12) 5 . . . . . . . . . .
13) 9 . . . . . . . . . .
14) 10 . . . . . . . . . .
15) 11 . . . . . . . . . .
III - Qual o menor número que se deve subtrair do número dado para que resulte um número divisível por :
231 345 507 659 908 1 231 3 785 7 333 17 994 67 562
16) 2 . . . . . . . . . .
17) 3 . . . . . . . . . .
18) 4 . . . . . . . . . .
19) 5 . . . . . . . . . .
20) 8 . . . . . . . . . .
21) 9 . . . . . . . . . .
22) 10 . . . . . . . . . .
23) 11 . . . . . . . . . .
24) Determine o resto que o resultado da expressão 12 450 + 45 876 X 23 887 deixa respectivamente por 2, 3, 4, 5, 9 e 11:
25) Determine o resto que o resultado da expressão 27 4962 X 5 6263 + 123 507 deixa respectivamente por 2, 3, 4, 5, 9 e 11:
26) Determine o menor valor de A na expressão 7 321 X 158 286 + A que torna o resultado respectivamente divisível por
3, 5, 9 e 10 :
27) Determine o menor valor de A na expressão 14 8754 + 8 2863 X A que torna o resultado respectivamente divisível por
3, 5, 8 e 11 :
28) Que resto a soma S de 5 números naturais e consecutivos deixa por 8, sabendo que o menor deles deixa por 8 o resto 5
29) Que resto a soma S de 7 números naturais e consecutivos deixa por 11, sabendo que o menor deles deixa por 11 o resto 9.
30) Que resto o produto P de 5 números naturais e consecutivos deixa por 7, sabendo que o maior deles deixa por 7 o resto 6
31) Que resto o produto P de 8 números naturais e consecutivos deixa por 10, sabendo que o maior deles deixa por 11 o resto 8.
32) A potência 578127 quando dividida por 3, 5 e 11 deixa, respectivamente, os restos :
33) A potência 1 672449, quando dividida por 4, 6 e 9 deixa, respectivamente, os restos :
34) Determine o resto da expressão 73 191342 X 5 476361 + 23 507769 deixa respectivamente por 2, 3, 5 e 11:
35) Determine o menor valor de A na expressão 16 045562 + 7 106345 X A que torna o resultado respectivamente divisível por 3, 5 e 10 :
36) Se A e B deixam, quando divididos por 7, respectivamente, os restos 2 e 5. Que resto a expressão A11 X B12 deixará
quando dividida por 7 ?
37) Se A, B e C deixam, quando divididos por 9, respectivamente, os restos 3, 4 e 7. Que resto a expressão A21 X B35 X C17 deixará
quando dividida por 9 ?
38) Determine o menor valor do expoente n, na expressão : 125n + 2 439217 para que o resultado seja divisível por 11.
39) Sabendo que n é um número ímpar de dois algarismos, determine o menor valor do expoente n, na expressão :
4 675n + 6 134673 para que o resultado seja divisível por 9.
40) Determine na expressão 723 n + 2 739 2p, o menor valor de n + p, para que o resultado seja um número divisível por 5.
Questões de Concurso
41) ( EPCAR 2000 ) Seja um número m = 488a9b, onde "b" é o algarismo das unidades e "a" é o algarismo das centenas.
Sabe-se que m é divisível por 55, então o menor valor de a + b é igual a :
a) 2 b) 7 c) 10 d) 13
42) ( Colégio Naval - 1990 ) O número 583ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos algarismos a e b, é:
a) indeterminado b) 20 c) 18 d) 11 d) 2
43) ( Colégio Naval - 1990 ) Considere as Afirmativas :
(I) O número 1147 não é primo
(II) Todo número da forma abba, onde a e b são algarismos, é divisível por 11.
(III) Todo o número múltiplo de 5 e 15 é múltiplo de 75
(IV) O número de divisores naturais de 576 é divisor de 63
O número de afirmativas verdadeiras é :
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 d) 4
44) ( CEFET 1972 ) O menor número real que se subtrair da expressão : 121 1/2 + 512 2/3 + 10.000 3/4 para que seja divisível por 9 é :
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 d) 6
45) ( CEFET 1973 ) Quantos divisores tem o número 216 1,333... :
a) 25 b) 20 c) 15 d) 16 d) N.R.A
46) ( CEFET 1975 ) A interseção do conjuntos de divisores de um número natural com o conjunto dos múltiplos do mesmo número
é um conjunto :
a) Vazio b) Unitário c) de números primos
d) com números ilimitado de elementos d) N.R.A
47) ( UFMG-99 ) Sabe-se que o número 213 - 1 é primo. Seja n = 217 - 16. No conjunto dos números naturais, o número de
divisores de n é:
a) 5 b) 8 c) 6 d) 10
48) ( CEFET 1999 - 2ª fase ) Se N = 2 x 302 , qual o número de divisores de N que são também múltiplos de 15?
49) ( CEFET - 2000 ) O número de inteiros compreendidos entre 200 e 500 que são divisíveis por 5 e não divisíveis por 15, é:
a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 d) 80
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- Jura? Multiplicando O Número 12345679
Se multiplicarmos o número 12345679 (observe que é um número formado pelos algarismos de 1 a 9, exceto o 8) por qualquer múltiplo (veja o conceito abaixo) de 9, entre 9 e 81, iremos obter um produto cujo algarismo que se repete é o próprio multiplicador...
- Teorema De D’alembert
O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual...
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Múltiplos e divisoresEm uma divisão existem alguns termos: dividendo (número que será dividido) quociente (resultado da divisão), divisor (número que divide) e resto (o que sobra da divisão), quando o resto é igual a zero dizemos que a divisão...