Matemática
Notas:
Fonte:TAHAN, Malba. Antologia da Matemática, vol. 1. São Paulo: Ed. Saraiva, 1.960.
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O paradoxo de Hilbert ilustra por que os conjuntos dos infinitos pareceram absurdos por muito tempo: Considere um Hotel infinito, cujos quartos são numerados pelos números naturais N = 0, 1, 2, 3, ... e está lotado para a noite, ou seja, há um hóspede...
Matemática
Um Hotel Infinitista
Não te preocupes com o Infinito;
ele saberá resolver os seus problemas.
Asseguram os matemáticos que, no mundo do infinito, uma parte pode ser equivalente ao todo(1)! Provavelmente isto fica melhor ilustrado por um exemplo extraído de uma das histórias atribuídas ao famoso matemático alemão David Hilbert(2).
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(1) A medida que "x" tende ao infinito. (2) Só não deixe ele sair pela tangente. Ele continuaria para sempre. |
Conta-se que, em suas conferencias sobre infinito ele esclarecia esta propriedade paradoxal dos conjuntos infinitos, da seguinte maneira:
?Imaginemos um hotel com um número finito de quartos e suponhamos que todos esses quartos estejam ocupados. Um novo hospede chega e solicita um quarto.
? ?Sinto muito ? desculpa-se o proprietário ? mas todos os quartos se acham ocupados?.
Imaginemos, agora, um hotel, possuindo um número infinito de quartos, todos igualmente ocupados. A este hotel chega, também, um novo hospede e solicita um quarto.
? ?Vou atende-lo imediatamente? ? declara o proprietário, e muda a pessoa que antes ocupava o quarto nº1 para o quarto nº2, a pessoa do quarto nº2 para o de nº3, o ocupante do quarto nº3 para o de nº4, e assim por diante ...
O novo freguês recebe o quarto nº1, que fica livre como resultado destas transposições.?
?Imaginemos, agora, para rematar, um hotel, com um número infinito de quartos, todos rigorosamente ocupados e eis que surge, de improviso, uma multidão infinita de hospedes. E todos desejam aposentos.
? ?Perfeitamente, cavalheiros ? diz o solicito proprietário ? aguardem, por favor, um instante?.
Que faz ele? Transfere o ocupante do quarto nº1 para o de nº2, o de nº2 para o de nº4, o ocupante do nº3 para o quarto nº6, e assim por diante(3).
Agora, todos os quartos de números ímpares ficaram livres e os novos hóspedes (em número infinito) podem ser, facilmente, alojados neles?.
Este vídeo do canal The Open University ilustra muito bem esta situação.
O vídeo tem áudio em inglês mas pode ser entendido sem maiores dificuldades.
Notas:
(1) Ocorre essa antinomia, tão bem anedotizada por Gamow, quando estudamos a teoria dos conjuntos infinitos. Veja no livro G. F. M., o artigo ?Anatomia do Infinito?;
(2) David Hilbert (1.862 + 81 = 1.943), famoso matemático alemão. È autor de notável axiomática da Geometria;
(3) A lei de mudança é a seguinte: ?o hospede b que se achava no quarto m vai para o quarto 2?m. Assim o hospede que se achava no quarto 71, por exemplo, vai para o quarto 142, o que se achava no 142, vai para o quarto 284; o dono deste quarto vai para o 568 e assim por diante. É claro que, depois dessas trocas, todos os quartos ímpares estão vazios ... E como os números ímpares formam um conjunto infinito, ficará o hotel com um infinidade de quartos vazios e estará em condições de receber os hospedes, em numero infinito, que acabam de chegar;
(2) David Hilbert (1.862 + 81 = 1.943), famoso matemático alemão. È autor de notável axiomática da Geometria;
(3) A lei de mudança é a seguinte: ?o hospede b que se achava no quarto m vai para o quarto 2?m. Assim o hospede que se achava no quarto 71, por exemplo, vai para o quarto 142, o que se achava no 142, vai para o quarto 284; o dono deste quarto vai para o 568 e assim por diante. É claro que, depois dessas trocas, todos os quartos ímpares estão vazios ... E como os números ímpares formam um conjunto infinito, ficará o hotel com um infinidade de quartos vazios e estará em condições de receber os hospedes, em numero infinito, que acabam de chegar;
Fonte:TAHAN, Malba. Antologia da Matemática, vol. 1. São Paulo: Ed. Saraiva, 1.960.
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