Matemática

A Notação Sigma para Somatórios

Autor: Blog Fatos Matemáticos. Profº Paulo Sergio

Para tornar clara a discussão sobre integrais definidas, é importante introduzir aqui uma notação matemática padrão usada para abreviar grandes somas. Esta é chamada "notação sigma" ou somatórios, porque utiliza a letra grega (sigma). Assim, se $[;a_1,a_2,\ldots, a_n;]$ são números dados, sua soma é denotada por

$[;\sum_{k=1}^{n}a_k;]$

Esse símbolo lê-se "a soma de [;a_k;]

, de

", ou seja,

$[;\sum_{k=1}^{n}a_k = a_1 + a_2 + \ldots + a_n;]$

Proposição 1: Valem as seguintes propriedades para somatórios:
[;i);]

$[;\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}ca_k = c\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k};]$

para todo $[;c \in \mathbb{R};]$ .

$[;\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k)} = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}a_k + \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}b_k;]$

Seja

, então

$[;\displaystyle{\sum_{k=m}^{n}}a_k = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}a_k - \displaystyle{\sum_{k = 1}^{m-1}}a_k;]$

$[;\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}1 = n;]$

Demonstração:
[;i);]

De fato,

$[;\sum_{k=1}^{n}ca_k = ca_1 + ca_2 + \ldots + ca_n = c(a_1 + a_2 + \ldots + a_n) = c\sum_{k=1}^{n}a_k;]$

De fato,

$[;\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k) = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + \ldots + (a_n + b_n);]$

$[;= (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) + (b_1 + b_2 + \ldots + b_n);]$

$[;=\sum_{k=1}^{n}a_k + \sum_{k=1}^{n}b_k;]$

Basta notar que

$[;\sum_{k=1}^{m-1}a_k + \sum_{k=m}^{n}a_k = \sum_{k=1}^{n}a_k;]$

Segue direto da definição de multiplicação.

Proposição 2:
[;i);]

$[;\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}k = \frac{n(n+1)}{2};]$

$[;\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};]$

Demonstração:
[;i);]

Usaremos indução finita. Para [;n=1;]

, temos:

$[;\sum_{k=1}^{1}k = 1 = \frac{1(1 + 1)}{2};]$

Suponhamos que a expressão é válida para [;n = m;]

, ou seja, a hipótese de indução é dada por:

$[;\sum_{k=1}^{m}k = \frac{m(m+1)}{2};]$

Mostraremos que

$[;\sum_{k=1}^{m + 1}k = \frac{(m+1)(m+2)}{2};]$

De fato,

$[;\sum_{k=1}^{m+1}k = \sum_{k=1}^{m}k + (m+1) = \frac{m(m+1)}{2} + (m+1);]$

$[;= \frac{m(m+1) + 2(m+ 1)}{2} = \frac{(m + 1)(m + 2)}{2};]$

Outra forma de provar este resultado é usando o teorema das colunas.

(Teorema das Colunas) A soma dos coeficientes binomiais situados na [;p;]

-ésima coluna até a linha [;n;]

é igual ao co eficiente binomial situado na [;(n+1);]

-ésima linha e [;(p+1);]

-ésima coluna, ou seja:

$[;{p \choose p} + {p+1 \choose p} + \ldots + {n \choose p} = {n+1 \choose p+1} \quad \quad \text{ou} \quad \quad \sum_{k=p}^{n} {k \choose p} = {n+1 \choose p+1};]$

Demonstração: Usaremos indução finita sobre [;n;]

. Se

, temos:
$[;{p \choose p} = 1 = {p + 1 \choose p + 1};]$
Suponhamos que
$[;\sum_{k = p}^{n}{k \choose p} = {n + 1 \choose p + 1} \quad \quad \quad (2);]$
Assim,
$[;\sum_{k = p}^{n+1}{k \choose p} = \sum_{k = p}^{n}{k \choose p} + {n+1 \choose p+1} = {n+1 \choose p+1} + {n+1 \choose p} = {n+1 \choose p+1};]$

No caso particular em que [;p = 1;]

, temos
$[; \sum_{k=1}^{n} {k \choose 1} = \sum_{k=1}^{n} k = {n+1 \choose 2} = \frac{(n+1)n}{2};]$

que é a soma dos números naturais de [;1;]

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