A Reta de Euler
Matemática

A Reta de Euler



Quando falamos em Euler e os resultados obtidos pelo mesmo não deixamos de nos surpreender com as descobertas desse gênio da matemática, o mesmo contribuiu com a geometria plana, e ele notou que em um triângulo qualquer o Ortocentro (Encontro das alturas relativas as bases), o Circuncentro (Encontro das mediatrizes relativas aos lados do triângulo) e o Baricentro, são colineares, ou seja, existe uma reta que passa pelo ortocentro, circuncentro e baricentro. 


Deste modo, enunciamos o seguinte teorema:

Teorema: Em um triângulo ABC qualquer, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro são colineares.


Demonstração: Considere um triângulo qualquer, utilizaremos em nossa demonstração um triângulo acutângulo para garantirmos que os três pontos citados se encontram no interior desteg triângulo, entretanto a demontração é análoga para triângulos obtusângulos e retângulos, assim temos:
 
O Baricentro [;G;] (contido na mediana) e o circincentro [;O;] (contido na mediatriz) são pontos distintos, haja vista que a mediana é distinta da mediatriz. Traçamos a reta [;\ell;] que passa por  [;G;] e [;O;]. Seja [;H';] um ponto pertecente a semi-reta [;\vec{OG};] tal que [;\overline{GH'}=2\overline{GO};]. Note que [;P;] é o ponto médio de [;\overline{BC};], pois o mesmo pertence à mediana relativa a esse lado. Considere a mediana e a mediatriz relativa ao lado [;\overline{BC};].
Note que [;\triangle GH'A;] e [;\triangle GOP;] são semelhantes, pois:

 Assim, seus ângulos correspondentes, [;A\widehat{H'}G;] e [;P\widehat{O}G;] são congruentes.
Dessa forma a reta suporte que contêm o segmento [;\overline{AH'};] é paralela à mediatriz [;\overline{OP};], consequentemente, [;H';] é um ponto pertecente à altura relativa ao lado [;\overline{BC};].


   Analogamente, vamos tomar agora a mediana e a mediatriz relativas ao lado [;\overline{AC};] da figura abaixo:
 
Seja [;P';] o ponto médio do lado [;\overline{AC};]. Veja que [;\triangle GH'B;] e [;\triangle GOP';] são semelhantes, pois:
Dessa forma, os ângulos correpondentes [;B\widehat{H'}G;] e [;P'\widehat{O}G;] são congruentes. A reta suporte que contêm o segmento [;BH';] é paralela a mediatriz [;OP';]. Consequentemente, [;H';] é um ponto pertencente a altura relativa ao lado [;\overline{AC};].
Como [;H';] é a interseção de duas alturas do triangulo [;\triangle ABC;], temos que [;H'=H;] (ortocentro).

Concluímos assim que, Circuncentro ( O ), Baricentro ( G ) e Ortocentro ( H )
são colineares e a Reta [;\ell;] é a Reta de Euler do Triângulo [;\triangle ABC;].  


  Até mais !




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