Aproveitando a "aula" dada pelo João sobre derivadas, demonstro aqui as fórmulas de derivação e integração de polinômios, lembrando que esse é um processo básico (bem básico mesmo), e que serve principalmente para facilitar o trabalho em muitos casos:
1. Descobrir maximos e minimos de uma função (derivada igualada a zero)
2. Achar a área debaixo de uma função (integral definida)
3. Achar a taxa de variação de uma função (derivada)
4. recuperar uma função a partir da equação da sua tangente e derivada (integral indefinida)
5. Simplificar uma função (como as séries de expansão de Taylor têm por intuito).
Vamos Começar:
Teorema 1: Seja
![x^k [;x^k;]](matematica/matematica-5631cab97a2d2.)
um monômio. Então
Demonstração: (a) Usando a definição de derivada,
![f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^k + P(\Delta x, x) + (\Delta x)^k - x^k}{\Delta x} [; f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^k + P(\Delta x, x) + (\Delta x)^k - x^k}{\Delta x} ;]](http://thewe.net/tex/ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^k + P(\Delta x, x) + (\Delta x)^k - x^k}{\Delta x} )
Onde
![P(\Delta x,x) [;P(\Delta x,x) ;]](matematica/matematica-5631cab9ddfdf.)
é tomado de acordo com o binômio de Newton. Após simplificar, vemos que o único termo independente de
![\Delta x [; \Delta x ;]](matematica/matematica-5631cab9eef8e.)
é
![kx^{k-1} [; kx^{k-1} ;]](matematica/matematica-5631caba0d02c.)
. Ao aplicar o limite, terminamos.
(b) Vamos provar algo mais forte. Provemos que se, dadas
![u,v,w [;u,v,w;]](matematica/matematica-5631caba18f26.)
funções, com
![u=v+w [;u=v+w;]](matematica/matematica-5631caba293f5.)
, então ´
![u' = v' + w' [;u' = v' + w';]](http://thewe.net/tex/u' = v' + w')
. O resultado para
![n [;n;]](matematica/matematica-5631caba46ff9.)
números sai por indução. Poranto, para o passo-base:
![u' = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{v(x+\Delta x) + w(x+\Delta x) - v(x)-w(x)}{\Delta x} [; u' = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{v(x+\Delta x) + w(x+\Delta x) - v(x)-w(x)}{\Delta x};]](http://thewe.net/tex/ u' = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{v(x+\Delta x) + w(x+\Delta x) - v(x)-w(x)}{\Delta x})
Assim, nossa proposição sobre polinômios está provada, pelo menos para a derivada.
Integral: O conceito mais básico de integral, é: a Anti-derivada, ou seja, derivada ao contrario.
(lembrando, ISSO É O BÁSICO, o simples, o simplório, o pequeno.)
A fórmula:
Se integra fator por fator, assim como nas derivadas (a integral, no momento atual, apenas é a operação que "desfaz" a derivada. Portanto, é natural que esta propriedade se mantenha).
Agora, note o caso um pouco mais
geral: A derivada e a integral de expressões monomiais com expoentes racionais. Este obedece, com exceção à integral de
![\frac{1}{x} [; \frac{1}{x} ;]](matematica/matematica-5631caba8772c.)
, as mesmas regras acima. Pela derivada de potências interas ou racionais, mostra-se o Binômio de newton generalizado, que, por sua vez, mostra que a derivada de potências reais, no geral, segue
![(x^\alpha)'= \alpha\cdot x^{\alpha-1} [; (x^\alpha)'= \alpha\cdot x^{\alpha-1} ;]](http://thewe.net/tex/ (x^\alpha)'= \alpha\cdot x^{\alpha-1} )
. O mesmo para integrais.
Porém, vale a pena olhar para o caso da exceção:
Vamos provar que
![(ln(x))' = \frac{1}{x} [; (ln(x))' = \frac{1}{x} ;]](http://thewe.net/tex/ (ln(x))' = \frac{1}{x} )
De fato, aplicando a definição,
![ln'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} ln(\frac{x+\Delta x}{x})^{1/\Delta x} [;ln'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} ln(\frac{x+\Delta x}{x})^{1/\Delta x};]](http://thewe.net/tex/ln'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} ln(\frac{x+\Delta x}{x})^{1/\Delta x})
Como sabemos que
![e^x = \lim_{k \rightarrow 0} (1+\frac{x}{k})^k [; e^x = \lim_{k \rightarrow 0} (1+\frac{x}{k})^k ;]](matematica/matematica-5631cabac1a2d.)
, Ao terminar de analisar nossa expressão ao lado checamos claramente o resultado, ou seja,
Agora vocês têm fórmulas de utilidade extrema, que com certeza facilitarão muito o seu trabalho em varias ocasiões (Ensino Fundamental, médio, Concursos difíceis, problemas para lazer), mas: LEMBRE-SE! Professor também tem orgulho. Cuidado quando for colocar isso na prova (sério, eu já fiz isso e fui repreendido. Professor de ensino médio não gosta de se sentir ameaçado pela inteligência do aluno).
Abraços e até mais!
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