Função Modular

O valor absoluto de um número real é o próprio número real sem considerar o sinal, consequentemente não negativo.

Exemplos:
| + 7 | = 7                 | – 4 | = 4                 | 3 | = 3

Sendo "a" um número real, | a | não pode ser igual a "a", pois se "a" fosse, por exemplo, –6, teria-se:
| – 6 | = – 6, o que estaria errado, mas se "a" fosse, por exemplo, 4, teria-se:
| 4 | = 4, que estaria certo.
Portanto, | a | = a, se "a" for positivo ou nulo e | a | = – a, se "a" for negativo.

Uma função real onde a variável está em módulo (valor absoluto) é dita função modular.
f :   
y = | f(x) |

Exemplos de função modular:
f(x) = | 2x + 4 |

g(x) = | x² – 4x + 3 |

O gráfico de uma função modular pode ser esboçado mediante a separação em sentenças, por exemplo, dada a função f(x) = | 2 – x |.
Transformando-a em uma função de duas sentenças, cujo domínio real é dividido em duas condições (uma positiva ou nula e outra negativa).

Estudando o sinal da função que está em módulo, ou seja, achando a raiz da função que está no módulo, 2 – x = 0; e portanto x = 2.
Logo, tem-se:
f(x) > 0 quando x  2
f(x) = 0 quando x = 2         daí,        f(x) = 2 – x,   se x  2
f(x) < 0 quando x > 2         daí,        f(x) = – 2 + x,   se x > 2
f(x) = 

Assim, f(1) = 2 – 1 = 1                f(2) = 2 – 2 = 0                  f(3) = – 2 + 3 = 1

Representando numa tabela tem-se:
                           

Uma equação em que a incógnita esteja em módulo é chamada de equação modular.

Resolução:
Para resolver uma equação modular da forma | f(x) | = a, com "a" um número real negativo.
| 2x – 3 | = – 5, neste caso, a solução é vazio, pois nunca pode dar negativo.
S = 

Para resolver uma equação modular da forma | f(x) | = 0.
| 2x – 3 | = 0, apenas a raiz é a solução, ou seja, 2x – 3 = 0  2x = 3 e daí, x = 3/2.
S = {3/2}

Para resolver uma equação modular da forma | f(x) | = a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 | = 5, neste caso, separa | 2x – 3 | em dois casos: 2x – 3 = 5 ou – 2x + 3 = 5.

Para 2x – 3 = 5 tem-se: 2x – 8 = 0 e daí, x = 4.
Para – 2x + 3 = 5 tem-se: – 2x – 2 = 0 e daí, x = – 1.
S = { – 1; 4 }

Uma inequação em que a incógnita esteja em módulo é chamada de inequação modular.

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | < 0.
| 2x – 3 | < 0, neste caso, a solução é vazio, pois nada que está em módulo pode ser negativo.
S = 

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  0.
| 2x – 3 | = 0, apenas a raiz é a solução.
S = {3/2}

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | > 0.
| 2x – 3 | > 0, neste caso, apenas a raiz não pertence a solução:
S = { x   ; x  3/2 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  0.
| 2x – 3 |  0, qualquer número real é válido.
S = 

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | < a ou | f(x) |  a, com "a" um número real negativo.
| 2x – 3 | < – 5 ou | 2x – 3 |  – 5, neste caso, a solução é vazio, pois nunca pode dar negativo.
S = 

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | < a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 | < 5, neste caso, separa | 2x – 3 | em dois casos: 2x – 3 < 5 ou – 2x + 3 < 5.

Para 2x – 3 < 5 tem-se: 2x – 8 < 0 e daí, x < 4 (onde 2x – 8 é menor que zero, ou seja, negativo).
Para – 2x + 3 < 5 tem-se: – 2x – 2 < 0 e daí, x > – 1 (onde – 2x – 2 é menor que zero, ou seja, negativo).
S = { x   ; – 1 < x < 4 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 |  5, e a mesma situação anterior acrescentado o igual.
S = x   ; – 1  x  4 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | > a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 | > 5, neste caso, separa | 2x – 3 | em dois casos: 2x – 3 > 5 ou – 2x + 3 > 5.
Para 2x – 3 > 5 tem-se: 2x – 8 > 0 e daí, x > 4 (onde 2x – 8 é maior que zero, ou seja, positivo).
Para – 2x + 3 > 5 tem-se: – 2x – 2 > 0 e daí, x < – 1 (onde – 2x – 2 é maior que zero, ou seja, positivo).
S = { x   ; x < – 1 ou x > 4 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 |  5, é a mesma situação anterior acrescentado o igual.
S = x   ; x  – 1 ou x  4 }

R01 — Faça um Esboço gráfico de f(x) = | x – 1 |.

R02 — Faça um Esboço gráfico de f(x) = | x – 1 | + 1.

R03 — Faça um Esboço gráfico de f(x) = | x – 1 | – 1.

R04 — Esboçe o gráfico de f(x) = | | x – 1 | – 1 |.

R05 — Resolva a equação | | 2x – 1 | – 3 | = 2.

R06 — Encontre a solução da inequação 6 > | x² + 5x |.

R07 — Calcule k de modo que a função (| 2k – 3 |)x² + 5x – 3 seja do 2° grau.

R08 — Esboce um gráfico para a função modular dada por f(x) = | x + 2 | – | x + 1 |.

R09 — Dada a função f(x) = | k – 1 |x² – x – 3. Determine k para que a função tenha raízes reais e distintas.

R10 — As raízes da equação | x |² + | x | – 6 = 0:
a) são positivas
b) tem soma igual a zero
c) tem soma igual a um
d) tem produto igual a seis
e) tem produto igual a menos seis

R11 — Resolva a equação  = 4.

R12 — Resolva a equação | 3 – 2x | = x + 3.

P01 — Faça um esboço gráfico de f(x) = | 1 – 2x |.

P02 — Resolva a equação | 3 – 5x | = 1.

P03 — Represente graficamente a função y = | – x² + 2x + 3 |.

P04 — Resolva a equação | 2 – 4x | = 3x – 5.

P05 — Resolva a inequação | 3x + 9 |  6.

P06 — Esboce um gráfico para a função modular f(x) = | 2x – 6 | + | x – 3 |.

P07 — Resolva a equação 3| x |² – | x | – 2 = 0.

P08 — Determine o valor de k para que o gráfico da função f(x) = ( | k² – 4 | )x² + x – 2 tenha a concavidade voltada para cima.

P09 — A soma das raízes da equação | x² – 3x | = 2 é:
a) 3                  b) 4                  c) 5                  d) 6                  e) 7

P10 — Encontre k para que a função f(x) = (| 2k – 1 | – 4)x + 7 seja crescente.

P11 — Determine k para que a função y = (| k | – 3)x² – 5x + 6 tenha a concavidade voltada para baixo.

P12 — Encontre a solução de | 4 – 3x | > 2x – 1.

P13 — Obtenha o conjunto-solução de   0.

P14 — Resolva a inequação: | x + 1 | – | 2 – x | < 0.

P15 — Encontre a solução de | x – 4 | = | 2x – 3 |.

P16 — Esboce um gráfico para a função modular dada por f(x) = | x + 2 | + | x + 1 |.

P17 — Considere a equação | x | = x – 6. Com respeito à solução real dessa equação, podemos afirmar que:
a) a solução pertence ao intervalo [ 1, 2 ]
b) a solução pertence ao intervalo [ –2, –1 ]
c) a solução pertence ao intervalo ] –1, 1 [
d) a equação não tem solução

P18 — O maior valor que y pode assumir em y = 3 – | x – 3 | é:
a) 2                 b) 3                 c) 6                d) 9                 e) 27

P19 — Encontre k para que a função f(x) = (| 3k – 3| – 5)x + 7 seja do 1° grau.

P20 — Determine k para que a função y = (| 2k + 6 | – 6)x² – 5x + 1 tenha a concavidade voltada para cima.

Fonte: http://hpdemat.apphb.com

Tweet