Matemática

Função Quadrática ou do 2º grau

Função Quadrática

Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a

0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a

0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
="center">

x	y
-3	6
-2	2
-1	0

0	0
1	2
2	6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a

0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando

, chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando é zero, há só uma raiz real;
quando é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são

. Veja os gráficos:

Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax² + bx + c, a

0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0,

a < 0

Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante

= b² - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º -

> 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1

x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0

y > 0

(x < x₁ ou x > x₂)
y < 0

x₁ < x < x₂

quando a < 0

y > 0

x₁ < x < x₂
y < 0

(x < x₁ ou x > x₂)

2º -

= 0

quando a > 0

quando a < 0

3º -

< 0

quando a > 0

quando a < 0

fonte:somatematica.com.br

- Função Do 2º Grau.
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e Exemplos:a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 ) c)...

- Função Do 2º Grau.
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e Exemplos:a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 ) c) y=x²-4 (...

- Coordenadas Do Vértice Da Parábola
Coordenadas do vértice da parábolaMarcelo Rigonatto VérticesToda função quadrática ou do 2º grau é do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola que, dependendo do...

- Coordenadas Do Vértice Da Parábola
Uma função do 2º grau é toda função da forma f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico da função do 2º grau ou função quadrática é uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para baixo ou para cima, de acordo com o valor do coeficiente...

- Gráfico Da Função Do 2º Grau
Gráfico da Função do 2º GrauMarcos Noé ParábolaO gráfico de uma função do 2º grau é dado por uma parábola com concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola intersecciona ou não, o eixo das abscissas (x),...

Matemática