Matemática

O Porquê dos Complexos não ser um Corpo Ordenado

Quem é maior,
[;1+2i;]

?

Se você já se fez essa pergunta, com certeza se indagou motivo de não saber respondê-la, o motivo disso é o fato de que o corpo dos complexos não pode ser ordenado. Mas afinal, o que quer dizer um corpo ser "ordenado"? E por que os complexos não pode ser ordenado? Iremos responder essas perguntas ao decorrer desse artigo, por isso fique atento.

Definição: Um conjunto [;X;]

diz-se ordenado quando está definida entre seus elementos uma relação de ordem, ou seja, uma relação binária [;x<y;]

, com as seguintes propriedades:

Dados e em , temos que , ou , ou , cada uma das possibilidades exclui as outras, denominamos isso de tricotomia.
Se e , então , denominamos isso de transitividade.

Olhando atentamente a definição acima vemos que podemos ordenar um conjunto qualquer de inúmeras formas.
Façamos o seguinte, vamos criar uma relação de ordem para o conjunto $[;\mathbb{C};]$ dos complexos, chamaremos essa relação de "ordem do dicionário", definida da seguinte maneira:

Dados [;z=a+bi;]

, temos que [;z<w;]

quando

, ou seja, quando a parte real de [;z;]

é menor que a de [;w;]

, analogamente temos [;w<z;]

quando

. Se tivermos [;a=c;]

, utilizamos os valores da parte imaginária dos números complexos dados, assim [;z<w;]

.

Note que as propriedades (1) e (2) são facilmente verificadas para a ordem do dicionário, logo ela torna o conjunto $[;\mathbb{C};]$ dos números complexos um conjunto ordenado. Acabou? Chegamos em uma contradição? Não! O que mostramos foi que o CONJUNTO $[;\mathbb{C};]$ dos números complexos pode ser ordenado, mas não dissemos que $[;\mathbb{C};]$ é um CORPO ORDENADO.

Definição: Um corpo é um conjunto [;X;]

, munido de duas operações, chamadas adição e multiplicação, que satisfazem a certas condições, chamadas os axiomas de corpo, que se seguem abaixo:

A. Axiomas da Adição:

A1. Associatividade: Dados $[;x,y,z \in X;]$ , temos [;(x+y)+z=x+(y+z);]

;
A2. Comutatividade: Dados $[;x,y\in X;]$ , temos [;x+y=y+x;]

;
A3. Elemento Neutro: Existe $[;0\in X;]$ tal que [;x+0=x;]

, seja qual for $[;x\in X;]$ . O elemento [;0;]

chama-se

;
A4. Simétrico: Todo elemento $[;x\in X;]$ possui um simétrico $[;-x\in X;]$ tal que [;x+(-x)=0;]

.

Observação: A subtração surge quando indicamos a soma [;x+(-y);]

como

. O zero é único, pois se [;x+0'=x;]

então

, ou seja, [;0'=0;]

, logo o zero é único.
Um conjunto que está definido somente uma operação satisfazendo a estes axiomas é o que denominamos grupo abeliano.

B. Axiomas da Multiplicação:

M1. Associatividade: Dados $[;x,y,z\in X;]$ , temos $[;(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z);]$ ;
M2. Comutatividade: Para quaisquer $[;x,y\in X;]$ temos $[;x\cdot y=y\cdot x;]$ ;
M3. Elemento Neutro: Existe $[;1\in X;]$ tal que $[;1\neq 0;]$ e $[;x\cdot 1=x;]$ , qualquer que seja $[;x\in X;]$ . O elemento [;1;]

chama-se um;
M4. Inverso Multiplicativo: Todo $[;x\neq 0;]$ em [;X;]

possui um inverso $[;x^{-1};]$ , tal que $[;x\cdot x^{-1}=1;]$ .

Observação: A divisão surge quando indicamos a operação $[;x\cdot y^{-1};]$ como [;x/y;]

. Não se divide por zero: [;x/0;]

não tem sentido. [;1;]

é único, pois se $[;x\cdot 1'=x;]$ então, multiplicando $[;x^{-1};]$ a ambos os lados, temos [;1'=1;]

, logo

é único.

Por fim, as operações de adição e multiplicação em um corpo [;X;]

acham-se relacionadas por um axioma, com o qual fica completa a definição de corpo.

D1. Axioma da Distributividade: Dados $[;x,y,z\in X;]$ temos $[;x\cdot (y+z)=x\cdot y + x\cdot z;]$ .

Assim, notamos que o conjunto $[;\mathbb{C};]$ munido com as operações de adição e multiplicação define um corpo.

Definição: Um corpo ordenado é um corpo no qual se definiu uma relação de ordem "compatível" com as operações de adição e multiplicação, ou seja, com as seguintes propriedades:

CO1) Se [;x<y;]

então

para todo

no corpo;
CO2) Se [;x<y;]

então

para todo

no corpo.

A definição " [;x<y;]

quando

é um número positivo" faz do corpo $[;\mathbb{R};]$ dos números reais um corpo ordenado (o mesmo ocorrendo com o corpo $[;\mathbb{Q};]$ dos racionais).

No nosso caso, a ordem do dicionário definida anteriormente não torna os complexos, de fato, um corpo ordenado.
Ela cumpre a condção CO1), ou seja, é compatível com a adição de números complexos, mas não cumpre a condição CO2).
Observe que na ordem do dicionário, os números complexos maiores que zero são os que ou tem parte real positiva, ou são da forma [;z=0+bi;]

com

.
Veja que [;2+3i<3+2i;]

na ordem do dicionário, multiplicando ambos os lados pelo número complexo "positivo" [;2-3i;]

temos que

, uma desigualdade falsa segundo a ordem do dicionário.

Afirmação: NENHUMA relação de ordem entre os números complexos pode torna $[;\mathbb{C};]$ um corpo ordenado.

Essa afirmação é consequência dos seguintes argumentos:

a) Num corpo ordenado, tem-se [;x>0;]

se, e somente se, [;-x<0;]

De fato, suponha [;x>0;]

, somando

a ambos os lados temos [;0>-x;]

, ou seja, [;-x<0;]

.

b) Num corpo ordenado, o quadrado de todo elemento não nulo é positivo, isto é, $[;x\neq 0;]$ implica [;x^2>0;]

.
Com efeito, se $[;x\neq 0;]$ , então [;x>0;]

. No primeiro caso, multiplicamos ambos os membros da igualdade [;x>0;]

pelo elemento positivo [; x;]

, obtemos

. No segundo caso, temos de a) que [;-x>0;]

, pelo primeiro caso, [;(-x)^2>0;]

. Mas

, logo,

em qualquer caso.

c) Em todo corpo ordenado, [;1;]

é positivo, logo [;-1;]

é negativo.
De fato, [;1;]

é quadrado de [;1;]

, logo

(por b)) e portanto, [;-1<0;]

(por a)).

d) Nenhuma relação de ordem torna o corpo $[;\mathbb{C};]$ dos complexos um corpo ordenado.
Com efeito, temos [;-1=i^2;]

. Se $[;\mathbb{C};]$ fosse um corpo ordenado, o número [;-1;]

seria negativo em virtude de c) e positivo em virtude de b), contradição.

Deste modo, podemos concluir que o corpo $[;\mathbb{C};]$ dos complexos é um corpo não-ordenado.

Referência Bibliográfica:
- Lima, Elon Lages, 1991 - Meu Professor de Matemática e outras histórias - Rio de Janeiro: GRAFTEX Comunicação Visual;

- Lima, Elon Lages, 2008 - Curso de Análise vol.1. 12.ed.- Rio de Janeiro: Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2008 (Projeto Euclides).

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