Matemática

Outro erro sutil (sobre a noção de igualdade)

Vamos continuar a série de postagens sobre alguns erros. Observe a figura abaixo:

Podemos afirmar que os triângulos (azul e vermelho) são iguais?

Da figura concluímos claramente que são dois triângulos equiláteros (pois cada ângulo interno mede 60°). E além disso eles possuem um lado (AB) igual. Mas é um pouco ousado (e incorreto!) se basear nestas informações para afirmar que os triângulos ABG e ABC são iguais.

O triângulo ABC é um conjunto de pontos assim como o triângulo AGB. Dizer que estes dois triângulos são iguais é o mesmo que dizer que os dois conjuntos de pontos são iguais. Mas dois conjuntos A e B são ditos iguais ?se, e somente se, todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A?.

Olhando para a figura é fácil ver que os pontos que formam o triângulo ABC são diferentes dos pontos que formam o triângulo AGB. O triângulo ACB, por exemplo, tem algum ponto cuja ordenada é 0 enquanto que o triângulo AGB não possui tal ponto. Logo há elementos em um dos conjuntos que não pertence ao outro e, portanto estes conjuntos não são iguais, do que resulta que os triângulos ABC e AGB são diferentes.

Dizer que duas coisas são iguais, de acordo com o senso comum e com alguns dicionários da língua portuguesa, significa afirmar que são muito semelhantes ou idênticas, tem a mesma forma, o mesmo tamanho, o mesmo valor, etc. Assim é comum se ouvir dizer ?tal coisa é igual ao meu? ou ?aquilo é igual ao do fulano? e assim por diante. Em matemática apesar de o conceito de igualdade ser considerado um dos mais simples que existem e por este motivo não ser definido em termos de nenhum outro - por isso é chamado ente primitivo - ele tem um significado bastante preciso: dizer que duas ?coisas? são iguais significa dizer que elas são exatamente a mesma ?coisa? (como ?coisa? entenda número, elemento, conjunto, função, figura ou qualquer outro objeto matemático). Assim, por exemplo, afirmar que a é igual a b significa que a e b são símbolos diferentes que designam o mesmo objeto.

Porém, novamente entendemos intuitivamente o que queríamos expressar dizendo que os triângulos são ?iguais?, apesar de estarmos matematicamente incorretos. A maneira correta de dizer que os triângulos ACB e AGB podem ser sobrepostos (ou seja, que através de movimento é possível fazê-los coincidir exatamente um em cima do outro ? pois deve ser isso que queríamos expressar) é dizer que eles são triângulos congruentes.

Note-se que os seguimentos AB e BA são realmente iguais. Basta olhar para a figura para perceber que os pontos que pertencem ao seguimento AB são os mesmos pontos que pertencem ao seguimento BA. Quando isso ocorre podemos dizer que os seguimentos são coincidentes e não há erro em dizer que eles são iguais. O mesmo não é possível dizer sobre os seguimentos CB e GB, que apesar de terem a mesma medida não são iguais, pois há elementos (pontos) em um deles que não há no outro.

Cabe notar que a congruência é um caso particular de um conceito mais geral denominado de semelhança, assunto para postagens futuras...

Que fique claro então que se duas figuras são tais que podem ser sobrepostas elas não são iguais, são congruentes (matematicamente falando, é claro).

Referências:

EVARISTO, Jaime. PERDIGÃO, Eduardo. Introdução à Álgebra Abstrata. 2. ed. Maceió: Formato Digital, 2011.

LIMA, Elon Lages. Medida e Formas em Geometria. Rio de Janeiro, 1991, p. 31-37.

LIMA, Elon. Lages. et al. A Matemática do Ensino Médio: volume 1. 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. (Coleção do Professor de Matemática)

MICHAELIS. Dicionário Escolar Língua Portuguesa. São Paulo: Editora Melhoramentos, 2002. (Dicionários Michaelis)

MONTEIRO, L. H. Jacy. Teoria Elementar dos Conjuntos. In: Elementos de Álgebra. Rio de janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 1974, p. 1-11.

Como Construir figuras Congruentes / Como Construir figuras Semelhantes.

Erros pode ser relatados aqui.

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