Matemática

Por que todo número racional, quando não é um decimal finito, é uma dízima periódica?

Não é raro encontrarmos um indivíduo que saiba que números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma a/b, onde a é um número inteiro e b é um número inteiro diferente de zero.

A maioria deles talvez saiba que tais números podem ser escritos como uma expressão decimal finita (por exemplo 53/20 = 2,65) ou como uma dízima periódica (por exemplo 10/3 = 3,333333333...).

O que talvez a minoria saiba é explicar a periodicidade das dízimas, afinal porque é que todo racional não finito é uma dízima periódica?

O número racional (como sabemos, já dissemos e repetiremos), são aqueles que podem ser escritos na forma a/b, com a e b pertencentes ao conjunto dos números inteiros e b diferente de zero.

Vejamos alguns exemplos:

Supõe então que você tem o número racional a/b.

Imagine que você quer efetuar a divisão para obter uma expressão decimal:

Como de costume, você vai obter um cociente e um resto:

(obs: na figura acima considere que há a necessidade de escrever um zero ao lado do resto r para efetivamente fazer a conta, mas vamos omitir estes zeros nas nossas figuras ? mas eles estão lá!)

É claro que o processo não para por aí. A divisão continua até obtermos um resto zero e quando isso ocorre dizemos que a divisão é exata e obtemos uma expressão decimal finita:

Mas vamos supor que dividindo a por b não obtemos resto zero.

Importante: Note que o resto nunca poderá ser qualquer número. Ele deverá, necessariamente, ser menor do que o divisor. Portanto haverá (b ? 1) possibilidades para o resto.

Supõe então que você fique dividindo e dividindo, aumentando os dígitos no cociente e não apareça um resto zero:

Sabe o que acontecerá?

Em algum momento haverá um resto repetido. Na verdade, no máximo o b° (b-ésimo) resto será repetido:

E a partir deste momento os dígitos do cociente começam a se repetir gerando o que chamamos de período da dízima:

E a conta prossegue... sem fim...

Vejamos, a seguir, um exemplo numérico pra melhor elucidar a ideia.

Supõe então que você tem o racional 14/5. Imagine que você quer efetuar a divisão pra obter um valor na forma de uma expressão decimal:

Como de costume, você vai obter um cociente e um resto:

Continuando a conta:

(daqui em diante não omitiremos os zeros)

A divisão continua até obtermos um resto zero e quando isso ocorre dizemos que a divisão é exata e obtemos uma expressão decimal finita:

Mas há casos em que o zero nunca aparece como resto, ou seja, casos em que não estamos lidando com uma expressão decimal finita (por exemplo no caso do racional 21/13). Então, como estamos acostumados a afirmar, este número deve ser uma dízima periódica já que é racional e não é um decimal finito.

Observe (e isto é ponto chave da argumentação) que no caso da divisão de 21 por 13 o resto não pode ser qualquer número. Ele deve, necessariamente, ser menor do que 13. Portanto, neste caso, há 12 possibilidades para o resto: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12.

Supõe então que você se depare com um caso em que fique dividindo e dividindo, aumentando os dígitos no cociente e não apareça um resto zero:

Perceba que, no máximo, o 13º resto será repetido (pois como só há doze restos possíveis, a partir do décimo segundo, ou eventualmente até mesmo antes, haverá uma repetição):

E a partir deste momento os dígitos do cociente começam a se repetir gerando o que chamamos de período:

Confira a conta na íntegra:

Note que o período desta dízima é 615384.

Observe que o que acabamos de ver foi porque todo número racional ou é uma expressão decimal finita ou então é uma dízima periódica. Em resumo:

Se aparecer o resto zero então a divisão acabou e não há mais nada para acrescentar no cociente, logo obtemos uma expressão decimal finita.

Se não aparecer resto zero, então haverá uma quantidade infinita de restos (pois a conta não acabará) e portanto haverá um momento em que algum dos restos anteriores se repetirá (pois há um número finito de possibilidades para o resto: eles devem ser menores do que o divisor), logo o dígito a ser inserido no cociente será o mesmo que você inseriu quando o resto repetido apareceu pela primeira vez. A partir deste ponto todos os restos (e dígitos do cociente) começarão a se repetir periodicamente (e infinitamente).

Explicando melhor porque é que o tal resto sempre será menor do que o divisor: Note que se ao dividir a por b você obtém um primeiro dígito q no cociente e um resto r maior do que b, então sua escolha de q foi infeliz, você deveria, talvez, ter escolhido (q+1) como o primeiro dígito do cociente (ou (q+2) ou (q+50) isso depende de quão ruim foi sua escolha para q). Dito de ouro modo: caso sobre um resto maior do que o divisor então você está respondendo de maneia errada a perguntinha do fundamental ?tem a na tabuada do b? Não? Então qual é número que multiplicado por b chega mais perto do a?? ou ?tem a na tabuada do b? Não? Então qual é o número que vem antes?? ou algo parecido.

Referência:

LIMA, Elon Lages. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM 2006. (Coleção do Professor de Matemática)

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