Matemática

Quebra-Cabeça: Torre de Hanói

Entre os diversos puzzles (quebra-cabeças) disponíveis nas lojas de brinquedos encontramos aquele que se conhece geralmente por ?Torre de Hanói?.

A ?Torre de Hanói? é constituída de uma base horizontal com três hastes verticais, como aquele visto na foto junto com o Poliedro.

Em uma haste estão colocados uma série de discos de tamanhos diferentes (geralmente 5 discos), o maior em baixo, depois, por cima, os discos são colocados do maior para o menor.

O problema deste puzzle consiste em transferir os discos da primeira haste para uma das outras hastes, de tal forma que a disposição final dos discos seja a mesma que a inicial.

Movimentos:

A cada movimento só pode ser movimentado apenas um disco;
Um disco só pode ser colocado sobre um disco maior do que aquele que está se movimentando, ou seja, nenhum disco pode ficar em cima de outro disco menor;

Suponhamos, por exemplo, que as hastes são indicadas como I, II e III, e os discos são marcados, do maior para o menor, com letras A, B, C, D, ...

Se a torre é composta por apenas 2 discos, A e B iniciam em I, B pode ser transferido para II e A pode ser transferido para III e então B pode ser transferido para III. Então 2 discos exigem 3 ou 2²? 1 transferências.

Torre de Hanói com 2 peças e a execução dos movimentos.

Se a torre é composta por 3 discos, A, B e C iniciam em I, C pode ser transferido para III, B pode ser transferido para II. C pode ser transferido para II e A pode ser transferido para III. C pode ser transferido para I e B pode ser transferido para III. C pode ser transferido para III. Então 3 discos exigem 7 ou 2³ ? 1 transferências.

Torre de Hanói com 3 peças e a execução dos movimentos.

De uma forma geral, podemos demostrar que para finalizar um puzzle com n discos são necessários, no mínimo, 2ⁿ ? 1 transferências.

Para uma Torre de Hanói com 5 disco como a torre do Poliedro são necessários no mínimo: 2⁵ ? 1 = 31 transferências para completar o puzzle.

Torre de Hanói com 5 peças e a execução dos movimentos.

Dicas: se o número de discos é par, desloque o primeiro disco para a haste II; e se o número de discos é impar, desloque o primeiro disco para a haste III; com esta dica você pode terminar em qualquer haste, desde que considere a haste escolhida como sendo a haste III.

A origem do puzzle é descrita por um autor da seguinte maneira:

?No grande templo de Benares, por baixo da cúpula que marca o centro do mundo, encontra-se uma placa de latão na qual estão fixas três agulhas de diamante, cada uma com um cúbito de alto e com espessura do corpo de uma abelha.

Numa destas agulhas, na criação do mundo, colocou Deus sessenta e quatro discos de ouro puro, o maior apoiado na placa de latão, e os outros, sucessivamente menores, até ao extremo superior.

Esta é a torre de Brama.

Dia e noite, incessantemente, os sacerdotes mudam os discos duma agulha de diamante para outra, de acordo com as leis fixas e imutáveis de Brama, que exigem que o sacerdote de serviço não mova mais que um disco de cada vez e que coloque este disco numa agulha de forma a que nunca fique um disco menor debaixo dele.

Quando os sessenta e quatro discos tiverem assim sido transferidos da agulha de diamante, onde Deus os colocou quando criou o mundo, para uma das outras, a torre, o templo e os brâmeses desfar-se-ão em pó, e com um estrondoso trovão o mundo desaparecerá.?

No caso da lenda, o número de transferência dos discos, que são necessários para completar o puzzle é de 2⁶⁴ ? 1.

Se partirmos do princípio de que os sacerdotes tinha um horário de trabalho de vinte quatro horas diárias, mudando o os discos à razão de 1 disco por segundo, sem nunca cometer um engano, levaria cerca de 5,82x10¹¹ anos, ou aproximadamente 6 bilhões de séculos, para completar esta tarefa dada por Brama.

Esta lenda profética quanto ao fim do mundo, se fosse real, seria uma das mais otimistas que se tem registrado.

Apesar da lenda a Torre de Hanói é bem mais nova. O puzzle foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1.883 e o seu nome é devido a uma torre na cidade de Hanói no Vietnã.

Torre da Bandeira de Hanói.
Fonte:http://pt.vietnamitasenmadrid.com/2011/06/citadel-de-hanoi.html

No link Tower Of Hanoi você pode praticar com uma torre virtual.

Fonte: NORTHROP, Eugene P. Curiosidades da Matemática. Livros Pelicanos CP 18. Lisboa: Editora Ulisséia, 19??.

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