Matemática
1° ? Compreensão do Problema
Podemos classificar as questões envolvendo seqüências em três tipos:
(S1) quando o enunciado da questão apresenta uma seqüência grande com vários números e apresenta perguntas do tipo: ?determine ou encontre o 100º número da seqüência?. Nestes casos a resolução é por meio de progressões (aritmética ou geométrica).
Exemplo: Encontre o 125° número da sequência: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, ... . Neste caso você terá que utilizar os conceitos de P.A. (progressão aritmética), pois, notem, que a quantidade de número da sequência aumenta em 2 sempre que volta ao número 1:
- Questão 47 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
Analise a seguinte sequência: 1, 4, 7, 10, 13, ... É verdade que (A) essa sequência é formada por múltiplos de 3. (B) nenhum número dessa sequência tem 8 como o algarismo das unidades. (C) essa sequência é uma progressão geométrica de razão...
- Progressão Aritmetica E Geometricas
As atividades envolvendo progressões exigem atenção por parte dos estudantes, pois devemos ter conhecimento das fórmulas matemáticas na resolução das progressões. A partir da interpretação do enunciado deveremos escolher qual a fórmula adequada....
- Progressão Aritmetica
As atividades envolvendo progressões exigem atenção por parte dos estudantes, pois devemos ter conhecimento das fórmulas matemáticas na resolução das progressões. A partir da interpretação do enunciado deveremos escolher qual a fórmula adequada....
- Progressão Aritmetica
Sucessões ou Seqüências DEFINIÇÃO Conjuntos de objetos de qualquer natureza, organizados ou escritos numa ordem bem determinada. Para representar uma seqüência, escrevemos seus elementos, ou termos, entre parênteses. É importante destacar que,...
- Progressão Aritmética
Definição: uma Progressão Aritmética (ou P.A.) é uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo (a partir do 2º) e o termo anterior é sempre a mesma (constante). A essa constante...
Matemática
Questão 09 ? Concurso SEE/SP (FGV) ? 2.013 ? Professor de Educação Básica II ? Matemática
O primeiro termo de uma sequência é 2013. A partir do segundo termo, cada termo dessa sequência é a soma dos quadrados dos algarismos do termo anterior.
Por exemplo, o segundo termo é 22+ 02 + 12 + 32 = 14.
O 2013º termo dessa sequência é
(A) 13.
(B) 14.
(C) 15.
(D) 16.
(E) 17.
Obs: Caderno de Prova Tipo 2 ? Cor Verde
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
Por exemplo, o segundo termo é 22+ 02 + 12 + 32 = 14.
O 2013º termo dessa sequência é
(A) 13.
(B) 14.
(C) 15.
(D) 16.
(E) 17.
Obs: Caderno de Prova Tipo 2 ? Cor Verde
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° ? Compreensão do Problema
Podemos classificar as questões envolvendo seqüências em três tipos:
(S1) quando o enunciado da questão apresenta uma seqüência grande com vários números e apresenta perguntas do tipo: ?determine ou encontre o 100º número da seqüência?. Nestes casos a resolução é por meio de progressões (aritmética ou geométrica).
Exemplo: Encontre o 125° número da sequência: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, ... . Neste caso você terá que utilizar os conceitos de P.A. (progressão aritmética), pois, notem, que a quantidade de número da sequência aumenta em 2 sempre que volta ao número 1:
1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, ...
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(S2) quando o enunciado da questão apresenta seqüência do tipo, ?quantos números podemos escrever utilizando 680 algarismos. Nesse caso, temos que realizar a contagem por quantidade de algarismos que forma cada número. Exemplo: de 1 a 9 ? 1 algarismo; de 10 a 99 ? 2 algarismos, e por aí vai ...
(S3) quando o enunciado da questão apresenta apenas um termo e a regra para encontrarmos os próximos números. Estes tipos de seqüências sempre farão um ?loop?, ou seja, depois de alguns números encontrados, a seqüência se repete.
Neste caso podemos determinar o número procurado dividindo a posição do número com a quantidade de termos do ?loop? e analisando o resultado obtido no quociente e no resto, utilizando os conceitos de aritmética modular.
2° ? Estabelecimento de um Plano
Da análise inicial temos que a questão trata-se de uma sequência do tipo S3.
Portanto o primeiro passo é determinar em qual ponto ocorre o ?loop?. Depois dividir 2.013 pelo número de elementos da sequência antes do ?loop? e analisar o resultado do quociente e do resto.
O único problema nessa questão é que essa sequência pode demorar para acontecer o ?loop?.
3° ? Execução do Plano
Determinando o ?loop?:
1º termo: 2013;
2º termo: 22 + 02+ 12 + 32 = 14;
3º termo: 12 + 42= 17;
4º termo: 12 + 72= 50;
5º termo: 52 + 02= 25;
6º termo: 22 + 52= 29;
7º termo: 22 + 92= 85;
8º termo: 82 + 52= 89;
9º termo: 82 + 92= 145; (será que falta muito?)
10º termo: 12 + 42+ 52 = 42;
11º termo: 42 + 22= 20;
12º termo: 22 + 02= 4;
13º termo: 42 = 16;
14º termo: 12 + 62= 37;
15º termo: 32 + 72= 58;
16º termo: 52 + 82= 89; (ufa ... repetiu ... ocorre o ?loop?)
(...)
O 16º termo é o mesmo que o 8º termo!
Agora, o primeiro pulo do gato: o 15º termo é 58 e o 8º é 85. São diferentes? Sim e não! Sim, porque (lógico!) são números diferentes. Porém, são iguais quando se trata na condição do enunciado para gerar o próximo número: 82 + 52 = 52+ 82 = 89. Um detalhe importante: o numero 85 não aparecerá mais nesta sequência.
A partir deste ponto o ?loop? ocorre sempre que aparecer o número 58 na sequência, teremos sempre a repetição de {58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37}.
O segundo pulo do gato é que da mesma forma que o número 58, os seis primeiros números da sequência {2013, 14, 17, 50, 25, 29} não ocorrem mais nesta sequência.
Para encontrar o 2.013° número da sequência temos que desconsiderar estes seis primeiros números, ou seja, é como se o enunciado fosse para determinar o 2.007° termo de uma sequência cujo o primeiro termo é 85 e que a partir do segundo termo, cada termo dessa sequência é a soma dos quadrados dos algarismos do termo anterior.
Teríamos então: 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, ... . Logo a sequência é formada por 8 números e a partir do 9º ocorre a repetição ou ?loop?!
Dividindo 2007 por 8 obtemos 250 e resto 7. Portanto temos 250 repetições da sequência e mais sete termos da sequência. Logo o 2007º termo é igual ao sétimo termo de {58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37}, logo o 2.013° é 16.
4° ? Avaliação
Para a resolução desta questão é necessário observar qual tipo de sequência que temos, e principalmente notar que a os seis primeiros termos da sequência não aparecem novamente na sequência.
Este fato obriga-nos a rever o enunciado do problema considerando neste ponto que devemos obter o 2.007° termo de uma sequência que se inicia com o número 85 e mantendo as demais condições do enunciado.
Esta questão foi baseada na resolução de uma questão semelhante apresentada no blog ?Beijo no papai e namamãe...?.
O 16º termo é o mesmo que o 8º termo!
Agora, o primeiro pulo do gato: o 15º termo é 58 e o 8º é 85. São diferentes? Sim e não! Sim, porque (lógico!) são números diferentes. Porém, são iguais quando se trata na condição do enunciado para gerar o próximo número: 82 + 52 = 52+ 82 = 89. Um detalhe importante: o numero 85 não aparecerá mais nesta sequência.
A partir deste ponto o ?loop? ocorre sempre que aparecer o número 58 na sequência, teremos sempre a repetição de {58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37}.
O segundo pulo do gato é que da mesma forma que o número 58, os seis primeiros números da sequência {2013, 14, 17, 50, 25, 29} não ocorrem mais nesta sequência.
Para encontrar o 2.013° número da sequência temos que desconsiderar estes seis primeiros números, ou seja, é como se o enunciado fosse para determinar o 2.007° termo de uma sequência cujo o primeiro termo é 85 e que a partir do segundo termo, cada termo dessa sequência é a soma dos quadrados dos algarismos do termo anterior.
Teríamos então: 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, ... . Logo a sequência é formada por 8 números e a partir do 9º ocorre a repetição ou ?loop?!
Dividindo 2007 por 8 obtemos 250 e resto 7. Portanto temos 250 repetições da sequência e mais sete termos da sequência. Logo o 2007º termo é igual ao sétimo termo de {58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37}, logo o 2.013° é 16.
4° ? Avaliação
Para a resolução desta questão é necessário observar qual tipo de sequência que temos, e principalmente notar que a os seis primeiros termos da sequência não aparecem novamente na sequência.
Este fato obriga-nos a rever o enunciado do problema considerando neste ponto que devemos obter o 2.007° termo de uma sequência que se inicia com o número 85 e mantendo as demais condições do enunciado.
Esta questão foi baseada na resolução de uma questão semelhante apresentada no blog ?Beijo no papai e namamãe...?.
- Questão 47 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
Analise a seguinte sequência: 1, 4, 7, 10, 13, ... É verdade que (A) essa sequência é formada por múltiplos de 3. (B) nenhum número dessa sequência tem 8 como o algarismo das unidades. (C) essa sequência é uma progressão geométrica de razão...
- Progressão Aritmetica E Geometricas
As atividades envolvendo progressões exigem atenção por parte dos estudantes, pois devemos ter conhecimento das fórmulas matemáticas na resolução das progressões. A partir da interpretação do enunciado deveremos escolher qual a fórmula adequada....
- Progressão Aritmetica
As atividades envolvendo progressões exigem atenção por parte dos estudantes, pois devemos ter conhecimento das fórmulas matemáticas na resolução das progressões. A partir da interpretação do enunciado deveremos escolher qual a fórmula adequada....
- Progressão Aritmetica
Sucessões ou Seqüências DEFINIÇÃO Conjuntos de objetos de qualquer natureza, organizados ou escritos numa ordem bem determinada. Para representar uma seqüência, escrevemos seus elementos, ou termos, entre parênteses. É importante destacar que,...
- Progressão Aritmética
Definição: uma Progressão Aritmética (ou P.A.) é uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo (a partir do 2º) e o termo anterior é sempre a mesma (constante). A essa constante...