Matemática

Questão 31 ? Prova do Estado ? (OFA) 2.014 ? Professor de Educação Básica II

A representação gráfica de uma função f: R ? R é a da figura.

Essa função f pode ser expressa por:

(A) f(x) = 1 + cos x.

(B) f(x) = ?1 + cos x.

(D) f(x) = 2sen x.

(E) f(x) = 2cos x.

Solução: (D)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° ? Compreensão do Problema

Neste problema temos que determinar a função que gerou o gráfico. Normalmente gráficos que apresentam esta forma ou são da função seno ou são da função cosseno. O gráfico apresenta alguns pontos importantes no qual podemos utilizar na resolução.

Observe que os valores de x estão em decimais, normalmente nestes gráficos temos valores de x expressos em ?, que não é um problema visto que a função toca no eixo das abscissas em x = 0; x = 3,14... e x = 6,28... (em decimal) respectivamente a x = 0; x = ? e x = 2·? (em múltiplos de ?).

Na função seno e na função cosseno em sua forma mais básica, g(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), apresentam o conjunto imagem: Img_g_(x) = {[? 1, 1]}, ou seja, ? 1 ? g(x) ? 1.

O gráfico indica uma imagem: Img_f_(x) = {[? 2, 2]}, ou seja, ? 2 ? f(x) ? 2, então temos as seguintes opções para analisar:

Para a função seno:

f(x) = sen[(c·x) + d]

f(x) = b · sen[(c·x) + d]

f(x) = a + b · sen[(c·x) + d]

Para a função cosseno:

f(x) = sen[(c·x) + d]

f(x) = b · sen[(c·x) + d]

f(x) = a + b · sen[(c·x) + d]

Cada um dos coeficientes a, b, c e d tem um influência diferente e causam distorções na função seno e na função cosseno.

O coeficiente a influência a transição vertical sendo que só haverá deslocamento ou translação vertical se a ? 0; o deslocamento ou translação vertical será para cima se a > 0; o deslocamento ou translação vertical será para baixo se a < 0.

O coeficiente b influência o alongamento ou a compressão na vertical da curva, ou seja, a amplitude da curva, se b < 0 ocorre um reflexão da curva em torno de seu eixo.

O coeficiente c influência o alongamento ou a compressão na horizontal da curva, determinado o intervalo em que a curva se repete, ou seja, o período (obtido pela fórmula T = (2 · ?) / |c|), sendo que só há alteração no período quando c ? 1.

O coeficiente d influência a transição horizontal sendo que só haverá deslocamento ou translação vertical se d ? 0; o deslocamento ou translação horizontal será de d/c para direita ou para a esquerda; o deslocamento ou translação horizontal para direita se d/c < 0; o deslocamento ou translação horizontal será para esquerda se d/c > 0; o deslocamento ou transição horizontal é denominado deslocamento de fase ou defasagem da curva.

2° ? Estabelecimento de um Plano

Da análise do gráfico observamos que: ? 2 ? f(x) ? 2, que e as outras características se mantem, então temos uma influência do coeficiente b, então a = 0, b ? 1, c = 1.

Como o coeficiente d influência na defasagem na curva pode fazer com que ou a função seno ou a função cosseno mudem de fase fazendo com que a função seno fique em fase com a função cosseno ou vice-versa.

As alternativas indicam que não temos esta influência, portanto temos apenas que verificar se a alternativa (D) ou a alternativa (E) é a correta, ou seja, para as funções do tipo:

f(x) = b · sen[(c·x) + d] ? f(x) = b · sen(x)

Com b = 2.

Para a resolução, inicialmente, atribuímos valores para x e verificamos o valor do sen (x) e do cos (x), o preenchimento da Tabela 1, pode auxiliar, nela temos os valores mais utilizados neste tipo de resolução:

x		f(x)	sen(x)	cos(x)
0	0	0
	?/2	2
3,14	?	0
	3·?/2	? 2
6,28	2·?	0

Tabela 1: Valores mais utilizados para x nos cálculos

da função seno e da função cosseno.

Com o preenchimento da tabela podemos comparar valores e determinar a resposta correta.

3° ? Execução do Plano

Completando a tabela obtemos:

x		f(x)	sen(x)	cos(x)
0	0	0	0	1
	?/2	2	1	0
3,14	?	0	0	? 1
	3·?/2	? 2	? 1	0
6,28	2·?	0	0	1

Pela análise da tabela podemos observar que a alternativa correta é a (D) f(x) = 2 · sem(x).

4° ? Avaliação

Para uma melhor compreensão de como os coeficiente a, b, c e d influenciam na função seno e na função cosseno, apresento um appet do software de geometria Geogebra (http://www.geogebratube.org/student/m119485).

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FUNÇÃO DO 1º GRAU Prof. Esp. Deivison da Silva e Silvae-mail:[email protected]...

- Função Composta
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