Questão 41 ? Prova do Estado ? (OFA) 2.014 ? Professor de Educação Básica II
Matemática

Questão 41 ? Prova do Estado ? (OFA) 2.014 ? Professor de Educação Básica II


Os pares ordenados (0, 0) e (1, 3) pertencem ao gráfico de uma função polinomial do 2.º grau. O máximo dessa função tem abscissa x = 2. Logo, o valor da função no ponto de abscissa x = ?1 é

(A) 5.
(B) 4.
(C) 0.
(D) ?4.
(E) ?5.

Solução: (E)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° ? Compreensão do Problema

Determinar a o valor de f (? 1) de uma função do segundo grau [f (x) = a · x2 + b · x + c ] que possui os pontos P1 = (0, 0) e P2 = (1, 3).

Como a função apresenta um valor de máximo (a < 0) então a concavidade da parábola está voltada para baixo, logo f (x) = ? a · x2 + b · x + c.

Temos a abscissa do vértice da parábola: xv = 2.

2° ? Estabelecimento de um Plano

Utilizar os dados do enunciado para obter a função e calcular f (? 1).
                                             
3° ? Execução do Plano

f (x) = ? a · x2 + b · x + c

Para o ponto P1 = (0, 0), temos f (0) = 0:

0 = ? a · 02 + b · 0 + c ? c = 0

f (x) = ? a · x2 + b · x + c ? f (x) = ? a · x2 + b · x + 0 ? f (x) = ? a · x2 + b · x

Para o ponto P2 = (1, 3), temos f (1) = 3:

3 = ? a · 12 + b · 1 ? ? a + b = 3

Sabemos que no vértice da parábola: xv = 2.

xv = ? b / [2 · (? a)] ? 2 = ? b / [2 · (? a)]  ? ? 4 · a + b = 0

Resolvendo o sistema de equações:

? a + b = 3
? 4 · a + b = 0

a = 1

b = 4

Então a função do enunciado se refere a f (x) = ? x2 + 4 · x. Calculando f (? 1).

f (? 1).= ? (? 1).2 + 4 · (? 1) = ? 1 ? 4 = ? 5

4° ? Avaliação

Questão envolvendo o estudo equação / função do segundo grau.

Outra forma de encontrar f (x) é observar que 0 é uma das raízes da função, visto que P1 = (0, 0) ? f (0) = 0.

Sendo xv = 2 a abscissa do vértice então a outra raiz é 4, visto que pelo vértice passa uma linha perpendicular ao eixo das abscissas denominada eixo de simetria que divide a parábola em duas partes iguais.

As raízes da equação do segundo grau estão à mesma distância do eixo de simetria. A função f (x) = ? a · x2 + b · x + c tem como forma fatorada f (x) = ? a · (x ? x1) · (x ? x2), sendo x1 e x2 raízes da função.

f (x) = ? a · (x ? x1) · (x ? x2) ? f (x) = ? a · (x ? 0) · (x ? 4) ? f (x) = ? a · (x) · (x ? 4)

Para o ponto P2 = (1, 3), temos f (1) = 3:

3 = ? a · (1) · (1 ? 4) ? 3 = ? a · (1) · (? 3) ? a = 1

f (x) = ? 1 · (x) · (x ? 4) ? f (x) = (? x) · (x ? 4)


f (? 1) = [? (? 1)] · [(? 1) ? 4] = [1] · [? 5] = ? 5

Figura 1: Gráfico de f (x).





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