Questão 9 ? Professor de Matemática ? SEAP ? Paraná ? 2.013
Matemática

Questão 9 ? Professor de Matemática ? SEAP ? Paraná ? 2.013


Considere a seqüência

an = logb1 ?5 + logb2 ?5 + ... + logbn ?5

onde b1 = a (a > 1) e bk+1 = ( bk )2 , k = 1 , ... , n ? 1. Determine o valor de a para o qual a10 = 1 ? (1/2)10

A) 10
B) ­1/5
C) 1
D) 5
E) ?5

Solução: (D)

Segundo o enunciado para a10 ? n = 10 , temos:

k = 1 , 2 , 3 , ... , 8 , 9

b1 = a;

b1+1 = b2 = ( b1 )2 = ( a )2 = a2

b2+1 = b3 = ( b2 )2 = ( a2 )2 = a4

b3+1 = b4 = ( b3 )2 = ( a4 )2 = a8

( ... )

b9+1 = b10 = ( b9 )2 = ( a256 )2 = a512

a10 = loga ?5 + log(a2) ?5 + log(a4) ?5 + log(a8) ?5 + .... + log(a256) ?5 + log(a512) ?5

Realizando mudança de base nos logaritmos:

log(a2) ?5 = (loga ?5) / (loga a2) = (loga ?5) / (2 ? loga a) = (1/2) ? loga ?5

log(a4) ?5 = (loga ?5) / (loga a4) = (loga ?5) / (4 ? loga a) = (1/4) ? loga ?5
(...)

log(a256) ?5 = (loga ?5) / (loga a256) = (loga ?5) / (256 ? loga a) = (1/256) ? loga ?5

log(a512) ?5 = (loga ?5) / (loga a512) = (loga ?5) / (512 ? loga a) = (1/512) ? loga ?5
  
a10 = loga ?5 + (1/2) ? loga ?5 + (1/4) ? loga ?5 + .... + (1/512) ? loga ?5

a10 = loga ?5 [1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ... + (1/256) + (1/512)]

1 ? (1/2)10 = loga ?5 [1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ... + (1/256) + (1/512)]

1 ? (1/2)10 = loga ?5 [1 + 1/2 + (1/2)2 + (1/2)4 + (1/2)8 + ... + (1/2)256 + (1/2)512]

O somatório trata-se de um P.G. de razão q = 1/2 e an = 1

Sn = a1 ? (qn ? 1) / (q ? 1) ? S10 = 1 ? [(1/2)10 ? 1] / [(1/2) ? 1] =

= [(1/2)10 ? 1] / [(1/2) ? 1] = [1 ? (1/2)10] / [1 ? (1/2)] = = [1 ? (1/2)10] / (1/2)

1 ? (1/2)10 = loga ?5 [1 + 1/2 + (1/2)2 + (1/2)4 + (1/2)8 + ... + (1/2)256 + (1/2)512]

1 ? (1/2)10 = loga ?5 {[1 ? (1/2)10] / (1/2)}

1 = loga ?5  / (1/2)

1/2 = loga ?5

Segundo a definição de logaritmo:

1/2 = loga ?5 ? a1/2 = ?5 ? ?a = ?5 então a = 5.

Agradecimento especial ao Monitor Luck do Fórum PiR2 pelo auxilio na resolução.




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