Matemática
Nesta postagem vermos que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$.
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{ax+b}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $u=ax+b$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx=\frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u}\ du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln (u)$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|u| + C
\end{equation*}
Mas $u=ax+b$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|ax+b| + C
\end{equation*}
Para calcularmos a área entre a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2x+1}$ e o eixo dos $x$ nos limites $x=0$ e $x=1$, usamos a integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_0^1 \frac{1}{2x+1}\ dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b|
\end{equation*}
fazemos $a=2$ e $b=1$, obtendo:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{1}{2}\ \ln|2x+1| \right]_0^1 = \left[ \frac{1}{2} \ln(3) - \frac{1}{2}\ln (1)\right] \approx 0,54931
\end{equation*}
Assim, a área compreendida entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ no limite $[0,1]$ vale aproximadamente $0,54931$ unidades de área.
Integração por substituição
Integração por partes
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\int \frac{1}{a\ E^{bx}}dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = -\frac{e^{-bx}}{ab}+C \end{equation*} onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$ e $a$ e $b \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = \int \frac{e^{-bx}}{a}...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
Matemática
Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ dx$
Nesta postagem vermos que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$.
[Família de funções integráveis do tipo $\displaystyle \frac{1}{ax+b}$]
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{ax+b}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $u=ax+b$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx=\frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u}\ du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln (u)$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|u| + C
\end{equation*}
Mas $u=ax+b$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|ax+b| + C
\end{equation*}
Exemplo:
Encontrar a área entre a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2x+1}$ e o eixo dos $x$, compreendida no intervalo de $[0,1]$.Para calcularmos a área entre a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2x+1}$ e o eixo dos $x$ nos limites $x=0$ e $x=1$, usamos a integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_0^1 \frac{1}{2x+1}\ dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b|
\end{equation*}
fazemos $a=2$ e $b=1$, obtendo:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{1}{2}\ \ln|2x+1| \right]_0^1 = \left[ \frac{1}{2} \ln(3) - \frac{1}{2}\ln (1)\right] \approx 0,54931
\end{equation*}
Assim, a área compreendida entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ no limite $[0,1]$ vale aproximadamente $0,54931$ unidades de área.
Veja mais
Lista de resolução de integraisIntegração por substituição
Integração por partes
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
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Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
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Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\int \frac{1}{a\ E^{bx}}dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = -\frac{e^{-bx}}{ab}+C \end{equation*} onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$ e $a$ e $b \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = \int \frac{e^{-bx}}{a}...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...