Seção de Problemas ? Nº 3
Esta será nossa terceira seção de problemas do blog. Mais uma vez, apresentarei a resolução de poucos problemas, para deixar a resolução dos outros por vocês. Meu email: [email protected].
Aqui vão:
Teoria dos Números
1 ? (IMO-1978) São dados dois números inteiros positivos distintos m,n tais que os três últimos dígitos da representação decimal de 
e 
coincidem. Ache o par ordenado (m,n) tal que a soma m+n seja mínima.
2 ? Uma poligonal fechada é composta de 11 segmentos. Existe uma reta, não contendo um vértice da poligonal, que passa por todos os 11 segmentos?
3 ? (Olimpíada de Mayo ? 2000) O conjunto 
pode ser separado em dois conjuntos 
e 
que têm mesma soma, e que têm interseção vazia. Entretanto, o conjunto 
não possui essa característica, nem o conjunto 
. Determine todos os n para os quais o conjunto 
não pode ser particionado em dois conjuntos com interseção vazia e soma igual.
Álgebra
4 ? (Olimpíada de Mayo ? 2009) Temos, em um quadro, escrito o número 1. A partir deste número, podemos fazer qualquer uma das seguintes operações:
Operação A: Substituir o número no quadro por sua multiplicação por ½.
Operação B: Substituir o número no quadro por a diferença entre 1 e o número.
Por exemplo, se temos 3/8 no quadro, podemos conseguir:
3/16, se aplicarmos A, ou 5/8, se aplicarmos B.
Mostre que podemos chegar a
Mostrando como fazê-lo.
5 ? (IMO-1978) Seja 
injetiva. Prove que, para todo n, a seguinte desigualdade
vale.
Geometria
6 ? (IMO-1991) Seja ABC um triângulo e M um ponto em seu interior. Mostre que pelo menos um dos ângulo MAB, MBC e MCA é menor ou igual a 30º.
Combinatória
7 ? (OBM-2008) Vamos chamar de garboso o número que possui um múltiplo cujas quatro primeiras casas de sua representação decimal são 2008. Por exemplo, 7 é garboso, pois 200858 é múltiplo de 7 e começa com 2008. Observe que 200858=28694x7.
Mostre que todos os inteiros positivos são garbosos.
Resolução de Alguns Exercícios:
3 ? (IMO-1969) Prove que existem infinitos a com a seguinte propriedade: para todo inteiro positivo n, o inteiro positivo 
é composto.
Resolução: Ora, se y for um quadrado perfeito, então nossa condição estará satisfeita. Assim, podemos completar o quadrado da seguinte forma:
Logo, se 
, temos que a condição é satisfeita. Notando que existem infinitos a?s com essa propriedade, o problema termina.
7 ? (IMO-1964) Dados a,b,c lados de um triângulo, prove que
Resolução: Utilizaremos, neste problema, um artifício interessante: A transformação de Ravi.
Ora, do que se trata? Apenas um fato curioso: Desenhemos a circunferência inscrita a um triângulo qualquer. Ao fazê-lo, você verá que teremos originado três pares de segmentos de mesma medida, pois estão de lados opostos da bissetriz de um ângulo, como na figura abaixo (segmentos de cor igual têm o mesmo valor):
Assim, podemos fazer a seguinte substituição:
Logo, nossa desigualdade a provar se torna
Expandindo os dois membros, temos
Que nos dá
Que é fácil de obter a partir da desigualdade entre as médias para seis números.
8 ? Existem n>2 pessoas em uma sala. Dizemos que duas delas são amigas se elas se conhecem. Mostre que existem pelo menos duas delas que têm o mesmo número de amigos.
Resolução: Nesse problema, utilizaremos uma versão de um princípio matemático importante: o Princípio das Casas dos Pombos.
O PCP (como geralmente é abreviado) diz que, se temos n+1 pombos para colocar em n gaiolas, então pelo menos uma gaiola conterá dois pombos.
Ora, você pode estar se perguntando: gaiolas? Pombos? O que isso tem a ver com o problema?
Oras, tudo! Chamemos o número de pessoas que cada um conhece de gaiolas, e o número de pessoas de pombos.
Logo, Como cada pessoa não conhece a si mesmo, temos que considerar apenas as outras pessoas que ela conhece. Mas, temos que cada pessoa conhece, ao máximo, n-1 outras pessoas. Como há n pessoas na festa, utilizamos o PCP: pelo menos duas estarão na mesma ?gaiola?, o que faz com que duas delas pelo menos conheçam um mesmo número de pessoas.
Os problemas aqui apresentados não exigem, como podem ver, teoremas muito complexos ou resultados mirabolantes: Apenas exigem o pensamento correto, o que é algo que eu apoio para quem deseja participar de olimpíadas ou vestibulares difíceis.
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