Seção de Problemas - Nº2
Matemática

Seção de Problemas - Nº2


Pessoal, aqui estou eu para apresentar a segunda seção de problemas do blog. Assim, teremos mais material no blog e vocês, se desejarem, podem mandar soluções para [email protected]

Aqui vão:

Teoria dos Números

1 ? (IMO-1964) Encontre todos os n para os quais clip_image002 é divisível por 7, e prove que, para todo n, clip_image004 não é divisível por 7.

2 ? (IMO-1968) Encontre todos os inteiros positivos x para os quais clip_image006 , onde clip_image008 denota o produto de seus dígitos.

3 ? (IMO-1969) Prove que existem infinitos clip_image010 com a seguinte propriedade: Para todo n inteiro positivo, clip_image012 nunca é primo.

Álgebra

4 ? (Proposto pela Iugoslávia para a IMO de 1966) Para clip_image014 reais positivos, prove que

clip_image016

5 ? (IMO-1968) Seja clip_image018 e clip_image020 uma função definida para todos os reais, satisfazendo, para todo clip_image022

clip_image024

(a) Mostre que clip_image026 é periódica, i.e., existe b>0 tal que f(x+b)=f(x), para todo x.

(b) Dê um exemplo de uma função assim para clip_image028

Geometria

6 ? (IMO-1967) ABCD é um paralelogramo. AB=a, AD=1..clip_image030 e os ângulos do triângulo ABD são agudos. Prove que os quatro círculos KA,KB,KC,KD, com centros em A,B,C,D, respectivamente, e de raio unitário cobrem o paralelogramo se, e somente,
clip_image032

7 ? (IMO-1964) Dados clip_image034 lados de um triângulo, prove que


clip_image036

Combinatória

8 ? Existem clip_image038 pessoas em uma sala. Dizemos que duas delas são amigas se elas se conhecem. Mostre existem pelo menos duas delas com o mesmo número de amigos. (Amizade é uma relação mútua)

9 ? (IMO-1967) Em uma competição de esportes de n dias, há m medalhas a serem conquistadas. No primeiro dia, são conquistadas 1 e mais um sétimo das restantes. No segundo, duas e um sétimo das restantes, e assim em diante. No n-ésimo dia, sabe-se que foram conquistadas n medalhas. Quantos dias durou e quantas medalhas foram conquistadas na competição?

clip_image040

Bom, como não houve resposta à seção anterior de problemas, aqui teremos apenas a resolução de alguns dos problemas da seção anterior.

Problema 1 ? Prove que clip_image004[1] é um primo somente se clip_image042 é potência de 2 (quando isso acontece, temos um primo de Fermat)

Resolução: Suponhamos que clip_image042[1] tenha algum fator ímpar na sua decomposição em primos. Portanto,

clip_image044Onde clip_image046é um ímpar.

clip_image048

Que é um número composto.
Logo, clip_image050tem de ser uma potência de 2.

Problema 4 ? Se clip_image052 e clip_image054, Ache os possíveis valores para
clip_image056

Resolução: Seja

clip_image058

Então, podemos escrever

clip_image060

Pois clip_image054[1]. Mas

clip_image062
clip_image064
clip_image066

Então

clip_image068
clip_image070

Multiplicando as expressões (I) por clip_image034[1] respectivamente,

clip_image072

Como

clip_image074
clip_image076

Assim,

clip_image078

Multiplicando, novamente, as expressões em (I) por clip_image080, respectivamente, obtemos

clip_image082
clip_image084

Botando na expressão original,

clip_image086

Problema 7 ? Seja um quadrilátero inscritível clip_image088 em uma circunferência de centro clip_image090 tal que suas diagonais são perpendiculares. Mostre que a linha poligonal clip_image092 divide o quadrilátero em duas regiões de mesma área.

Resolução: Primeiro, a figura, com pequenas alterações:

clip_image094

Reparemos que, para que a condição do enunciado seja satisfeita, devemos ter

clip_image096
clip_image098

Onde [ABC] denota a área do triângulo ABC. Logo,

clip_image100

Para isso, traçamos a reta pontilhada paralela a AC, e fazemos uma reflexão dos pontos A e C em relação a esta, para obter o triângulo pontilhado A?OC?. O ponto onde A?C? encontra DB é aquele para o qual teremos a distância DE. Logo, entre este ponto e o ponto E teremos a distância BE-DE que procuramos.

Assim, temos apenas que provar que A?OC? e AOC são congruentes. Porém, isto é óbvio, pois os ângulos C?AC = C?A?C e A?C?A=A?CA, pois estão inscritos no mesmo arco de circunferência, e, por A? e C? serem uma reflexão de A e C em torno da reta, A?C?=AC, o que nos mostra que eles são congruentes. Assim, se chamarmos suas alturas de h, teremos

clip_image102
clip_image104

Assim, suas áreas devem ser

clip_image106

Que nos dá o resultado desejado.

Então, fica por aqui a seção de problemas. O endereço para envio de soluções está no início do post e, caso desejem, podem enviar soluções por meio de comentários.

Fontes

Todos os problemas foram retirados do livro The IMO Compendium.





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