Matemática

Sobre o Produto Vetorial

Mais um ótimo post do Blog Fatos Matemáticos do Profº Paulo Sergio

O produto vetorial é uma ferramenta muito importante na Física e na Matemática Aplicada, pois através dela podemos calcular a área de um triângulo ou paralelogramo definido por dois vetores. O torque pode também ser definido através do produto vetorial.

Definição 1: O produto vetorial dos vetores $[;\vec{u} = (x_1,y_1,z_1) = x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k};]$ e $[;\vec{v} = (x_2,y_2,z_2) = x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k};]$ , tomados nesta ordem e denotado por $[;\vec{u}\times \vec{v};]$ é definido por

$[;\vec{u}\times \vec{v} =\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{bmatrix};]$

Desta expressão vemos que o produto vetorial de dois vetores é um vetor. Para resolver o determinante podemos usar o método de Sarrus em que repete a primeira e a segunda coluna. Particularmente, eu prefiro usar o método de Laplace que consiste em transformar o determinante acima em [;3;]

determinantes $[;2\times 2;]$ , isto é,

$[;\vec{u}\times \vec{v} = \begin{vmatrix}y_1 & z_1 \\y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}x_1 & z_1 \\x_2 & z_2 \\ \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}x_1 & y_1 \\x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}\vec{k};]$

Usando essa expressão, segue que $[;(\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{u} = (\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{v} = 0;]$ , ou seja, o produto vetorial é um vetor mutuamente ortogonal aos vetores $[;\vec{u};]$ e $[;\vec{v};]$ .

Exemplo 1: Determine um vetor unitário e ortogonal ao plano definido pelos vetores

$[;\vec{u} = (1,-1,2);]$ , $[;\vec{v}=(2,-1,3);]$ .

Resolução: Seja $[;\vec{n};]$ o vetor pedido. Usando o desenvolvimento de Laplace, temos:

$[;\vec{u}\times \vec{v} = \begin{vmatrix}-1 & 2 \\-1 & 3 \\ \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\ \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}1 & -1 \\2 & -1 \\ \end{vmatrix}\vec{k} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = (-1,1,1);]$

Pelo comentário acima, este vetor é ortogonal ao plano definido pelos vetores $\vec{u}$ e $[;\vec{v};]$ , mas

$[;\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3};]$

Para obter o vetor unitário $[;\vec{n};]$ , basta dividir $\vec{u}\times \vec{v}$ pelo seu módulo, isto é,

$[;\vec{n} = \frac{\vec{u}\times \vec{v}}{\mid \vec{u}\times\vec{v}\mid } = \frac{(-1,1,1)}{\sqrt{3}};]$

As propriedades do produto vetorial decorrem diretamente das propriedades dos determinantes. Assim, se [;M;]

uma matriz $[;n\times n;]$ de números reais, então:

O sinal de $[;\det(M);]$ é alterado se permutarmos duas de suas linhas;

[;2);]

Se uma linha de [;M;]

é multiplicada por $[;k \in \mathbb{R};]$ , então $[;\det(kM) = k\det(M);]$ ;

[;3);]

Se existem duas linhas proporcionais, então $[;\det(M) = 0;]$ ;

Se a

-ésima linha da matriz [;M;]

é representada por uma soma, então o determinante pode ser escrito como a soma de dois determinantes em que a [;i;]

-ésima linha de cada um deles é formada pelas parcelas da soma.

Da propriedade [;1);]

, segue que $[;\vec{v}\times \vec{u} = - \vec{u}\times \vec{v};]$ ;

Da propriedade [;2);]

, obtemos $[;(k\vec{u})\times \vec{v} = k(\vec{u}\times \vec{v});]$ ;

A propriedade $[;(k\vec{u})\times \vec{u} = \vec{0};]$ , segue da propriedade [;3);]

;

E a propriedade $[;\vec{u}\times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\times \vec{v} + \vec{u}\times \vec{w};]$ é consequência da propriedade [;4);]

Da primeira propriedade, vemos que existem apenas dois vetores unitários ortogonais ao plano formado pelos vetores $[;\vec{u};]$ e $[;\vec{v};]$ . É interessante notar que

$[;\vec{i}\times \vec{j} = \vec{k}, \quad \vec{j}\times \vec{k} = \vec{i} \quad \text{e} \quad \vec{k}\times \vec{i} = \vec{j};]$

e que

$[;\vec{i}\times \vec{i} = \vec{j}\times \vec{j} = \vec{k}\times \vec{k} = \vec{0};]$

Para ver a interpretação geométrica do produto vetorial, usaremos a identidade de Lagrange, dada por

$[;\mid\vec{u}\times \vec{v}\mid^2 + \mid \vec{u}\cdot \vec{v}\mid^2 = \mid\vec{u}\mid^2\ \mid\vec{v}\mid^2 \qquad (1);]$

A demonstração de [;(1);]

é clássica e basta desenvolver o membro esquerdo usando as expressões:

$[;\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid^2 = (y_1z_2 - y_2z_1)^2 + (x_1z_2 - x_2z_1)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2;]$

$[;\mid\vec{u}\cdot\vec{v}\mid^2 = (x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2)^2;]$

Deixo para o leitor verificar a expressão [;(1);]

. Por outro lado, o produto escalar de $[;\vec{u};]$ e $[;\vec{v};]$ é dado por

$[;\vec{u}\cdot \vec{v} = \mid\vec{u}\mid\ \mid\vec{v}\mid\cos \theta \qquad (2);]$

Substituindo [;(2);]

, temos:

$[;\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid^2 = \mid\vec{u}\mid^2\mid\vec{v}\mid^2 - \mid\vec{u}\mid^2\mid \vec{v}\mid^2\cos^2\theta =\mid\vec{u}\mid^2\mid\vec{v}\mid^2(1 - \cos^2\theta);]$

$[;=\mid\vec{u}\mid^2\mid\vec{v}\mid^2(1 - \cos^2\theta) = \mid\vec{u}\mid^2\mid\vec{v}\mid^2\sin \theta;]$

ou seja,

$[;\mid\vec{u}\times \vec{v}\mid = \mid\vec{u}\mid\mid\vec{v}\mid\sin \theta;]$

Proposição 1: Geometricamente o módulo do produto vetorial de dois vetores representa a área do paralelogramo formado por esses vetores.

De fato, da figura acima, a área do paralelogramo é

$[;S = \mid \vec{u}\mid h \qquad (3);]$

Mas,

$[;\sin \theta = \frac{h}{\mid\vec{v}\mid} \quad \Rightarrow \quad h =\mid \vec{v}\mid \sin \theta \qquad (4);]$

Substituindo [;(4);]

, temos:

$[;S = \mid\vec{u}\mid\mid\vec{v}\mid\sin \theta = \mid\vec{u}\times\vec{v}\mid;]$

Observação: Segue deste resultado que a área do triângulo definido pelos vetores $[;\vec{u};]$ e $[;\vec{v};]$ é a metade do módulo do produto vetorial.

Exemplo 2: Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores $[;\vec{u} = \vec{AB};]$ e $[;\vec{v} = \vec{AC};]$ , sendo [;A(-1,2,1);]

Resolução: Sendo

$[;\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (0,1,3) - (-1,2,1) = (1,-1,2);]$

$[;\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (2,1,-1) - (-1,2,1) = (3,-1,-2);]$

então,

$[;\vec{u}\times \vec{v} = (1,-1,2)\times (3,-1,-2) = (4,14,2);]$

onde segue que

$[;S = \mid \vec{u}\times \vec{v}\mid = \sqrt{4^2 + 14^2 + 2^2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}\ u.a.;]$

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