Matemática
SOLUÇÃO 3 (usando adição e multiplicação):
- Especial De Natal (solução)
Na postagem ESPECIAL DE NATAL perguntamos o que nos diz a a seguinte expressão: É isto o que veremos agora: Colocando z = 0 + 1i = 1i = i e calculando a série: Aplicando a distributiva, reordenando alguns fatores e cancelando outros:...
- O Problema Da Constante De Euler-mascheroni
Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte: Mostre que a soma é maior do que e conclua que . Isto se escreve também assim: Solução:...
- Irracionalidade Do Número "e"
Na postagem anterior mostramos a existência do número de Euler, agora prosseguiremos avançando nosso estudo desse número tão fascinante, e iremos mostrar que o número é irracional, começaremos definindo irracionalidade. Definição: Um número...
- A Soma De Gauss
Uma história interessante do jovem Carl Friederich Gauss $(1777-1855)$ quando este tinha apenas $10$ anos é que em uma das aulas de aritmética, o professor pediu aos alunos que calculassem o valor da soma:\begin{equation*} S = 1 + 2 + 3 + \cdots +...
- Polinômio Interpolador De Lagrange
Sejam $x_0, x_1, \cdots , x_n, (n+1)$ pontos distintos e $y_1=f(x_i)$ sendo $i=0,1,\cdots, n$. Seja $P_n(x)$ o polinômio de grau $\leq n$ que interpola $f$ em $x_0, x_1, \cdots , x_n$. Podemos representar o polinômio $P_n(x)$ como: \begin{equation*}...
Matemática
Um problema, várias soluções (continuação)
Nesta postagem apresentarei as três soluções prometidas para o problema proposto na postagem um problema, várias soluções. Além disso, acrescentarei a elas as soluções dos dois leitores que participaram com comentários, as quais enriqueceram a postagem.
SOLUÇÃO 3 (usando adição e multiplicação):
Esta, creio eu, é a mais simples de todas; o que ela faz é, simplesmente, contar as varetas diretamente. Basta observar que se há $$n$$ varetas na base do quadrado, então há $$n+1$$ colunas verticais de varetas cada uma com $$n$$ varetas cada; analogamente, há $$n+1$$ colunas horizontais cada uma com $$n$$ varetas cada. Logo, o número total de varetas é varetas na vertical + varetas na horizontal, ou seja,
$$n(n+1)+n(n+1)=2n(n+1)$$
SOLUÇÃO 4 (usando funções quadráticas):
Vamos olhar para os termos da sequência $$(a_n)$$, onde $$a_n$$ representa o número de varetas do n-ésimo quadrado:
$$4, \;12,\; 24,\;40,\;60,\;84,\cdots, a_n,\cdots$$
Analisando estes termos, vemos que se trata de uma Progressão Aritmética de Segunda Ordem. Logo, pelo teorema de caracterização das funções quadráticas, concluímos que $$a_n$$ tem a forma de uma função quadrática, ou seja, existem $$x\neq 0$$, $$y$$ e $$z$$ tais que
$$a_n=xn^2+yn+z$$
Usando que $$a_1=4$$, $$a_2=12$$ e $$a_3=24$$, resolvemos o sistema
$$\left\{\begin{matrix}x+y+z=4\\ 4x+2y+z=12\\ 9x+3y+z=24\end{matrix}\right$$
e concluímos que $$x=2$$, $$y=2$$ e $$z=0$$. Segue que
$$a_n=2n^2+2n+0=2n(n+1)$$
SOLUÇÃO 5 (usando progressão aritmética):
Vamos novamente olhar para os termos da sequência $$(a_n)$$:
Vamos novamente olhar para os termos da sequência $$(a_n)$$:
$$4, \;12,\; 24,\;40,\;60,\;84,\cdots, a_n,\cdots$$
Observando os seis primeiros termos, vê-se que o primeiro é múltiplo de $$1$$, o segundo é múltiplo de $$2$$, o terceiro de $$3$$ e assim por diante. Supondo que este padrão persiste, a sequência pode ser expressa da seguinte maneira:
onde $$b_n$$ representa o n-ésimo termo de uma PA cuja razão é $$2$$ cujo primeiro termo é $$4$$. Segue que
Observação: reduzir o problema a encontrar o termo geral da sequência $$(a_n)$$ abre portas para outras possibilidades. Por exemplo, pode-se usar os números triangulares: analisando os seis primeiros termos, vemos que todos eles são múltiplos de quatro. Supondo que este padrão persiste podemos expressar a sequência da seguinte maneira:
$$1\cdot 4, \;2\cdot 6,\; 3\cdot 8,\;4\cdot 10,\;5\cdot 12,\;6\cdot 14,\cdots, n\cdot b_n,\cdots$$
$$a_n=n\cdot bn=n(4+(n-1)2)=2n(n+1)$$
Observação: reduzir o problema a encontrar o termo geral da sequência $$(a_n)$$ abre portas para outras possibilidades. Por exemplo, pode-se usar os números triangulares: analisando os seis primeiros termos, vemos que todos eles são múltiplos de quatro. Supondo que este padrão persiste podemos expressar a sequência da seguinte maneira:
$$4\cdot 1, \;4\cdot 3,\; 4\cdot 6,\;4\cdot 10,\;4\cdot 15,\;4\cdot 21,\cdots, 4\cdot t_n,\cdots$$
onde $$t_n$$ representa o n-ésimo número triangular. Segue que
$$a_n=4t_n=4\frac{n(n+1)}{2}=2n(n+1)$$
SOLUÇÃO 6 (do Prof. Paulo Sérgio, usando o operador diferença):
Analisando dois quadrados consecutivos, vemos que o número de varetas $$a_n$$ satisfaz a equação de recorrência:
$$a_{n+1} = a_n + 4(n+1)$$
com $$a_1 = 4$$.
Sendo $$\Delta$$ o operador diferença definido por $$\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$$, segue que $$\Delta a_n = 4(n+1)$$. Aplicando o operador anti-diferença, temos
$$a_n = \Delta^{-1}[4(n+1)] = \frac{4(n+1)n}{2} + C$$
Usando a condição inicial, segue que
$$4 = a_1 = 2(1 + 1)1 + C \Rightarrow C = 0$$
Logo,
$$a_n = \frac{4(n+1)n}{2}+0= 2n(n+1)$$
Obs.: Outro modo de resolver a equação de diferença finita acima é através da transformada discreta de Laplace (TDL). Saiba mais no blog Fatos Matemáticos.
SOLUÇÃO 7 (de Aloisio Teixeira, usando PA de 2ª ordem): De alguns valores de $$a_n$$, vemos que a segunda diferença de seus termos consecutivos é constante ($$4$$), ou seja,
$$4,12,24,40,60,84\cdots,a_n,\cdots$$
$$8,12,16,20,24,\cdots,x_n,\cdots\;\;\;\;\;\;\;(*)$$
$$4,4,4,4,\cdots,y_n\cdots$$
Nota: $$x_n=a_{n+1}-a_n$$ e $$y_n=x_{n+1}-x_n$$.
Isto é característico de uma progressão aritmética de segunda ordem, cujo termo genérico é
onde $$a_0$$, $$a_1$$ e $$a_2$$ correspondem aos números da primeira coluna de (*): $$a_0=4$$, $$a_1=8$$ e $$a_2=4$$. Substituindo estes valores:
Se a construção fosse um cubo de varetas, pode-se fazer a terceira diferença dos termos consecutivos e usar o termo genérico de uma PA de terceira ordem:
SOLUÇÃO 7 (de Aloisio Teixeira, usando PA de 2ª ordem): De alguns valores de $$a_n$$, vemos que a segunda diferença de seus termos consecutivos é constante ($$4$$), ou seja,
$$4,12,24,40,60,84\cdots,a_n,\cdots$$
$$8,12,16,20,24,\cdots,x_n,\cdots\;\;\;\;\;\;\;(*)$$
$$4,4,4,4,\cdots,y_n\cdots$$
Nota: $$x_n=a_{n+1}-a_n$$ e $$y_n=x_{n+1}-x_n$$.
Isto é característico de uma progressão aritmética de segunda ordem, cujo termo genérico é
$$a_n=a_0+a_1(n-1)+\frac{a_2(n-1)(n-2)}{2}$$,
onde $$a_0$$, $$a_1$$ e $$a_2$$ correspondem aos números da primeira coluna de (*): $$a_0=4$$, $$a_1=8$$ e $$a_2=4$$. Substituindo estes valores:
$$a_n=4+8(n-1)+\frac{4(n-1)(n-2)}{2}=2n(n+1)$$
Se a construção fosse um cubo de varetas, pode-se fazer a terceira diferença dos termos consecutivos e usar o termo genérico de uma PA de terceira ordem:
$$a_n=a_0+a_1(n-1)+\frac{a_2(n-1)(n-2)}{2}+$$
$$+\frac{a_3(n-1)(n-2)(n-3)}{6}$$
Nota: a fórmula para o termo geral de uma PA de ordem n pode ser vista no blog de Aloisio, Elementos de Teixeira.
Referência: notas de aula e participação dos leitores.
Erros podem ser relatados aqui.
Referência: notas de aula e participação dos leitores.
Erros podem ser relatados aqui.
- Especial De Natal (solução)
Na postagem ESPECIAL DE NATAL perguntamos o que nos diz a a seguinte expressão: É isto o que veremos agora: Colocando z = 0 + 1i = 1i = i e calculando a série: Aplicando a distributiva, reordenando alguns fatores e cancelando outros:...
- O Problema Da Constante De Euler-mascheroni
Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte: Mostre que a soma é maior do que e conclua que . Isto se escreve também assim: Solução:...
- Irracionalidade Do Número "e"
Na postagem anterior mostramos a existência do número de Euler, agora prosseguiremos avançando nosso estudo desse número tão fascinante, e iremos mostrar que o número é irracional, começaremos definindo irracionalidade. Definição: Um número...
- A Soma De Gauss
Uma história interessante do jovem Carl Friederich Gauss $(1777-1855)$ quando este tinha apenas $10$ anos é que em uma das aulas de aritmética, o professor pediu aos alunos que calculassem o valor da soma:\begin{equation*} S = 1 + 2 + 3 + \cdots +...
- Polinômio Interpolador De Lagrange
Sejam $x_0, x_1, \cdots , x_n, (n+1)$ pontos distintos e $y_1=f(x_i)$ sendo $i=0,1,\cdots, n$. Seja $P_n(x)$ o polinômio de grau $\leq n$ que interpola $f$ em $x_0, x_1, \cdots , x_n$. Podemos representar o polinômio $P_n(x)$ como: \begin{equation*}...